出てくるもの（3）：電磁場のエネルギー運動量テンソル

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第2部 第7章 §2.7.5　★★★ 正準テンソルを対称に直すと、エネルギー密度・Poynting ベクトル・Maxwell の応力が1つのテンソルの成分になる

正準テンソルとその不具合

電磁場の Lagrangian 密度 $\mathcal L=-\frac{1}{4\mu_0}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$（源のない場合。第2部第6章）で、場は4本の $A_\alpha$ である。$F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$ を $\partial_\mu A_\alpha$ で微分すると $4F^{\mu\alpha}$ なので $\partial\mathcal L/\partial(\partial_\mu A_\alpha)=-F^{\mu\alpha}/\mu_0$ で、正準テンソル (2.7.16) は

$$T_{\mathrm{can}}{}^\mu{}_\nu=-\frac1{\mu_0}F^{\mu\alpha}\partial_\nu A_\alpha+\frac{1}{4\mu_0}\delta^\mu{}_\nu F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta}\tag{2.7.22}$$

になる。この式には2つの不具合がある。1つめは $A_\alpha$ そのもの（$F$ でなく）を含むので、ゲージ変換 $A_\alpha\to A_\alpha-\partial_\alpha\Lambda$ で値が変わること、2つめは $\mu,\nu$ について対称でないことである。エネルギー密度は測る量なので、ゲージの選び方によってはいけない。

改良項を足す

例題 2.7.2 の自由度を使う。$B^{\mu\alpha}{}_\nu=F^{\mu\alpha}A_\nu/\mu_0$ は $\mu,\alpha$ について反対称なので、その発散を足しても保存則と全体の4元運動量は変わらない。

$$\frac1{\mu_0}\partial_\alpha\bigl(F^{\mu\alpha}A_\nu\bigr)=\frac1{\mu_0}(\partial_\alpha F^{\mu\alpha})A_\nu+\frac1{\mu_0}F^{\mu\alpha}\partial_\alpha A_\nu$$

で、源のない Maxwell 方程式 $\partial_\alpha F^{\alpha\mu}=0$ から第1項は $0$ である。これを式 (2.7.22) に足すと $\partial_\nu A_\alpha-\partial_\alpha A_\nu=F_{\nu\alpha}$ がまとまり、添字を上げて

$$T^{\mu\nu}=\frac{1}{\mu_0}\Bigl(F^{\mu\alpha}F_\alpha{}^\nu+\frac14\eta^{\mu\nu}F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta}\Bigr)\tag{2.7.23}$$

を得る。$F$ だけで書けているのでゲージ不変で、$\mu,\nu$ について対称である。この改良の手続きを Belinfante の方法と呼ぶ。トレースは $T^\mu{}_\mu=\frac1{\mu_0}(F^{\mu\alpha}F_{\alpha\mu}+F^2)=0$ で、これは光子に質量がないことと対応する。

成分を $F_{0i}=E_i/c$、$F_{12}=-B_3$（記法の正本）で書き下すと

$$T^{00}=\frac{\varepsilon_0}{2}\bm{E}^2+\frac{\bm{B}^2}{2\mu_0},\qquad T^{0i}=T^{i0}=\frac{S_i}{c},\quad \bm{S}=\frac{\bm{E}\times\bm{B}}{\mu_0},\qquad T^{ij}=-\sigma_{ij},\tag{2.7.24}$$

$$\sigma_{ij}=\varepsilon_0\Bigl(E_iE_j-\frac12\delta_{ij}\bm{E}^2\Bigr)+\frac1{\mu_0}\Bigl(B_iB_j-\frac12\delta_{ij}\bm{B}^2\Bigr)$$

となる。$\sigma_{ij}$ は Maxwell の応力テンソルで、負号は計量の符号の流儀 $(+,-,-,-)$ による。エネルギー密度・Poynting ベクトル・Maxwell の応力は、1つのテンソルの別々の成分だった。運動量密度は $\bm{g}=\bm{S}/c^2=\varepsilon_0\bm{E}\times\bm{B}$ である。

源があるとき：物質と場を合わせた保存

電流 $J^\mu$ があると、電磁場だけの $T^{\mu\nu}$ は保存しない。Maxwell 方程式 $\partial_\mu F^{\mu\alpha}=\mu_0J^\alpha$ と Bianchi 恒等式 $\partial_\lambda F_{\mu\nu}+\partial_\mu F_{\nu\lambda}+\partial_\nu F_{\lambda\mu}=0$ を使って式 (2.7.23) の発散を計算すると、

$$\partial_\mu T^\mu{}_\nu=\frac1{\mu_0}\Bigl[(\partial_\mu F^{\mu\alpha})F_{\alpha\nu}+F^{\mu\alpha}\partial_\mu F_{\alpha\nu}+\frac12F^{\alpha\beta}\partial_\nu F_{\alpha\beta}\Bigr].$$

第2項は $\mu,\alpha$ の反対称性で $\frac12F^{\mu\alpha}(\partial_\mu F_{\alpha\nu}+\partial_\alpha F_{\nu\mu})$ と書け、Bianchi 恒等式でこれは $-\frac12F^{\mu\alpha}\partial_\nu F_{\mu\alpha}$ になって第3項と打ち消し合う。残る第1項が

$$\partial_\mu T^{\mu\nu}=-F^{\nu\lambda}J_\lambda\tag{2.7.25}$$

である。右辺を成分で書くと、$\nu=0$ では $-\bm{E}\cdot\bm{J}/c$、$\nu=i$ では $-(\rho\bm{E}+\bm{J}\times\bm{B})_i$ で、

$$\frac{\partial u}{\partial t}+\nabla\cdot\bm{S}=-\bm{J}\cdot\bm{E},\qquad \frac{\partial g_i}{\partial t}-\sum_j\partial_j\sigma_{ij}=-(\rho\bm{E}+\bm{J}\times\bm{B})_i\tag{2.7.26}$$

になる。第1式は Poynting の定理で、場のエネルギーは電流にした仕事 $\bm{J}\cdot\bm{E}$ の分だけ減る。第2式の右辺は Lorentz 力の密度 $\bm{f}$ で、物質の運動量密度の増える速さに等しい。したがって $\bm{g}$ と物質の運動量密度の和は、応力 $\sigma_{ij}$ の流れの分しか変わらない。場と物質を合わせた全運動量は保存する。

この保存が成り立つためには、場の運動量 $\varepsilon_0\bm{E}\times\bm{B}$ を数に入れなければならない。動く2つの電荷の間の磁気力は作用反作用の法則を満たさないことがあり（例題 2.7.6）、そのとき粒子だけの運動量は保存しない。第1部第10章で全運動量の保存を並進の対称性から出したとき、系は粒子だけだった。電磁気では並進の対称性を持つのは粒子と場を合わせた作用なので、保存するのも粒子と場を合わせた運動量である。

1　G. Kopp and J. L. Lean (2011), Geophys. Res. Lett. 38, L01706（全太陽放射照度 $1360.8\pm0.5\,\mathrm{W\,m^{-2}}$）。