当てる道具：振幅の勾配と位相の勾配

光学と量子エレクトロニクス　第25章 §25.2　★★★ 誘起された双極子に働く力の時間平均は $\frac12\operatorname{Re}[\alpha\,\mathcal E\,\nabla\mathcal E^*]$ で、分極率の実部が振幅の勾配に、虚部が位相の勾配に掛かる。平面波の力は吸収の断面積×強度$/c$

誘起された双極子に働く力

まず原子を古典的な振動子とみなし、第1章・第11章の分極率 $\alpha(\omega)$ だけを使って力を求める。量子論での計算（25.3節）は、ここで得た形に飽和を足すだけになる。

位置 $\bm{r}$ の点双極子 $\bm{d}(t)$ に働く Lorentz 力は、電荷の分布を双極子まで展開して

$$\bm{F}=(\bm{d}\cdot\nabla)\bm{E}+\dot{\bm{d}}\times\bm{B}\tag{25.6}$$

である。Faraday の法則 $\nabla\times\bm{E}=-\partial_t\bm{B}$ を使うと、$\bm{d}$ を定数とみなして微分した恒等式 $\nabla(\bm{d}\cdot\bm{E})=(\bm{d}\cdot\nabla)\bm{E}+\bm{d}\times(\nabla\times\bm{E})$ から

$$\bm{F}=\nabla(\bm{d}\cdot\bm{E})\big|_{\bm{d}\text{ を固定}}+\bm{d}\times\partial_t\bm{B}+\dot{\bm{d}}\times\bm{B}=\sum_jd_j\nabla E_j+\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}(\bm{d}\times\bm{B})$$

を得る。最後の項は時間の全微分なので、光の周期で平均すると $0$ になる。誘起された双極子は $\bm{d}(t)=\operatorname{Re}[\alpha\,\bm{e}\,\mathcal E\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega_{\mathrm L}t}]$ で、§1 の時間平均の公式 $\langle \operatorname{Re}[A\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}]\operatorname{Re}[B\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}] \rangle =\frac12\operatorname{Re}(AB^*)$ を使うと

$$\langle \bm{F} \rangle =\frac12\operatorname{Re}\bigl[\alpha\,\mathcal E\,(\nabla\mathcal E)^*\bigr]\tag{25.7}$$

になる。

ここに $\mathcal E=\lvert \mathcal E\rvert \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}$ を入れる。$\nabla\mathcal E=(\nabla\lvert \mathcal E\rvert +\mathrm{i}\lvert \mathcal E\rvert \nabla\varphi)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}$ なので $\mathcal E(\nabla\mathcal E)^*=\lvert \mathcal E\rvert \nabla\lvert \mathcal E\rvert -\mathrm{i}\lvert \mathcal E\rvert ^2\nabla\varphi$ で、$\alpha=\alpha'+\mathrm{i}\alpha''$ と書くと

$$\langle \bm{F} \rangle =\underbrace{\frac14\alpha'\nabla\lvert \mathcal E\rvert ^2}_{\text{双極子力}}+\underbrace{\frac12\alpha''\lvert \mathcal E\rvert ^2\nabla\varphi}_{\text{散乱力}}\tag{25.8}$$

となる。分極率の実部 $\alpha'$ は強度の勾配に、虚部 $\alpha''$ は位相の勾配に掛かる。

双極子力のポテンシャルと散乱力の大きさ

第1項は $\alpha'$ が位置に依らないので勾配の形に書けて、

$$\bm{F}_{\mathrm{dip}}=-\nabla U_{\mathrm{dip}},\qquad U_{\mathrm{dip}}=-\frac14\alpha'(\omega_{\mathrm L})\lvert \mathcal E\rvert ^2\tag{25.9}$$

になる。第1章の式（第1章）の双極子力のポテンシャルが、ここで力の式から導けた。

第2項を平面波（$\nabla\varphi=\bm{k}$）で見る。双極子が場から吸収する仕事率は $P_{\mathrm{abs}}=\langle \dot{\bm{d}}\cdot\bm{E} \rangle =\frac12\omega_{\mathrm L}\alpha''\lvert \mathcal E\rvert ^2$ なので、

$$\bm{F}_{\mathrm{scat}}=\frac{P_{\mathrm{abs}}}{\omega_{\mathrm L}}\bm{k}=\frac{P_{\mathrm{abs}}}{\hbar\omega_{\mathrm L}}\,\hbar\bm{k}=\frac{\sigma I}{c}\frac{\bm{k}}{k},\qquad\sigma(\omega)=\frac{\omega\alpha''(\omega)}{\varepsilon_0c}\tag{25.10}$$

である。$I=\frac12c\varepsilon_0\lvert \mathcal E\rvert ^2$ は強度、$\sigma$ は吸収の断面積である。$P_{\mathrm{abs}}/(\hbar\omega_{\mathrm L})$ は単位時間に吸収する光子の数なので、式 (25.10) は 25.1節の「散乱の回数×$\hbar\bm{k}$」と同じである。吸収したエネルギーは原子にたまらず、散乱光として全方向へ出ていく。出ていく光の運動量の平均は $0$ なので、入ってきた光の運動量がすべて原子に残る。

2準位原子の分極率は、共鳴の近く（$\lvert \Delta\rvert ,\Gamma\ll\omega_0$）で、第1章の $\alpha_2$ に減衰 $\Gamma$ を入れた Lorentz の形

$$\alpha(\omega_{\mathrm L})\approx-\frac{d^2}{\hbar}\,\frac{1}{\Delta+\mathrm{i}\Gamma/2}=\frac{d^2}{\hbar}\,\frac{-\Delta+\mathrm{i}\Gamma/2}{\Delta^2+\Gamma^2/4}\tag{25.11}$$

になる（弱い光の線形応答。第19章の光 Bloch 方程式で $\Omega\to0$ とした定常解と同じ）。式 (25.10) に入れ、式 (25.2) で $d^2$ を $\Gamma$ に書き換えると、共鳴の断面積は

$$\sigma_0=\sigma(\omega_0)=\frac{2\omega_0d^2}{\varepsilon_0c\hbar\Gamma}=\frac{6\pi c^2}{\omega_0^2}=\frac{3\lambda_0^2}{2\pi}\tag{25.12}$$

になる。$d$ も原子の大きさも消え、断面積は波長の2乗の桁だけで決まる。原子の大きさ（$10^{-10}\,\mathrm m$ の桁）より4桁大きな $10^{-6}\,\mathrm m$ の桁の「円盤」が、共鳴の光を遮る。