出てくるもの（1）：散乱力と飽和

光学と量子エレクトロニクス　第25章 §25.3　★★★ 光 Bloch 方程式の定常解から、散乱力は $\hbar k\Gamma\rho_{ee}$、強い光で $\hbar k\Gamma/2$ に飽和する。離調に Doppler のずれが入るので、力は原子の速さに依る

量子論の力の式

式 (25.3) を式 (25.4) に入れる。$\nabla$ は $\Omega_{\mathrm c}(\bm{r})$ だけに掛かるので、$\langle \sigma_+ \rangle =\operatorname{Tr}(\hat\rho\sigma_+)=\rho_{ge}$（$\rho_{ge}=\langle g | \hat\rho | e \rangle$）と書いて

$$\bm{F}=\frac{\hbar}{2}\bigl(\nabla\Omega_{\mathrm c}\,\rho_{ge}+\nabla\Omega_{\mathrm c}^*\,\rho_{eg}\bigr)=\hbar\operatorname{Re}\bigl[\nabla\Omega_{\mathrm c}\,\rho_{ge}\bigr]$$

となる。$\nabla\Omega_{\mathrm c}=(\nabla\Omega/\Omega+\mathrm{i}\nabla\varphi)\Omega_{\mathrm c}$ を使うと

$$\bm{F}=\hbar\frac{\nabla\Omega}{\Omega}\operatorname{Re}\bigl[\Omega_{\mathrm c}\rho_{ge}\bigr]-\hbar\nabla\varphi\,\operatorname{Im}\bigl[\Omega_{\mathrm c}\rho_{ge}\bigr]\tag{25.13}$$

で、ここでも振幅の勾配の項と位相の勾配の項に分かれる。$\Omega_{\mathrm c}\rho_{ge}$ は原子の双極子のうち、電場と同じ位相の成分（実部）と $90^\circ$ ずれた成分（虚部）を表す。

原子の内部の状態は、光 Bloch 方程式（第19章、第19章）に従って時間 $1/\Gamma$ の桁で定常状態に落ち着く。原子が動いて $\Omega_{\mathrm c}$ が変わる時間がそれより長いとき、$\hat\rho$ を各位置の定常解で置き換えてよい（25.5節の札）。自然放出の速さ $\Gamma$ だけを緩和に入れた定常解は

$$\rho_{ee}=\frac{s_0/2}{1+s_0+(2\Delta/\Gamma)^2},\qquad\Omega_{\mathrm c}\rho_{ge}=-\frac{(2\Delta+\mathrm{i}\Gamma)\,\Omega^2}{\Gamma^2+4\Delta^2+2\Omega^2},\qquad s_0=\frac{2\Omega^2}{\Gamma^2}\tag{25.14}$$

である。$s_0$ を飽和パラメータと呼ぶ。$\Omega_{\mathrm c}\rho_{ge}$ は $\Omega_{\mathrm c}$ の位相に依らない（$\rho_{ge}$ が $\Omega_{\mathrm c}^*$ に比例する）。虚部は $-\Gamma\Omega^2/(\Gamma^2+4\Delta^2+2\Omega^2)=-\Gamma\rho_{ee}$ に等しい。これは励起状態の占有を保つのに要る吸収の速さが、自然放出の速さ $\Gamma\rho_{ee}$ と等しいことを表している。

散乱力

式 (25.13) の第2項に式 (25.14) の虚部を入れると、

$$\bm{F}_{\mathrm{scat}}=\hbar\nabla\varphi\,\Gamma\rho_{ee}=\hbar\bm{k}\,\frac{\Gamma}{2}\,\frac{s_0}{1+s_0+(2\Delta/\Gamma)^2}\tag{25.15}$$

になる（2つ目の等号は平面波）。$\Gamma\rho_{ee}$ は単位時間の散乱の回数なので、25.1節の描像がそのまま式になった。

第19章で定義した飽和パラメータ $s_0$ と飽和強度（式 (19.18)）を、この章の記号で書き直すと、$\Omega=d\lvert \mathcal E\rvert /\hbar$、$I=\frac12c\varepsilon_0\lvert \mathcal E\rvert ^2$ と式 (25.2) から

$$s_0=\frac{I}{I_{\mathrm{sat}}},\qquad I_{\mathrm{sat}}=\frac{\varepsilon_0c\hbar^2\Gamma^2}{4d^2}=\frac{\hbar\omega_0^3\Gamma}{12\pi c^2}=\frac{\hbar\omega_0\Gamma}{2\sigma_0}\tag{25.16}$$

で、$I_{\mathrm{sat}}$ を飽和強度と呼ぶ。最後の形は「断面積 $\sigma_0$ の円盤が、共鳴で $\Gamma/2$ の速さだけ光子を受け取る強度」と読める。Rb の D2 線では $I_{\mathrm{sat}}=1.669\,\mathrm{mW/cm^2}$ である（D. A. Steck, Rubidium 87 D Line Data（http://steck.us/alkalidata）の円偏光の閉じた遷移の値と一致する）。

式 (25.15) は2つの極限を持つ。弱い光（$s_0\ll1$）では $\bm{F}_{\mathrm{scat}}\approx(\hbar\bm{k}\Gamma s_0/2)/(1+(2\Delta/\Gamma)^2)$ で、共鳴では $\sigma_0I/c$ に等しく、25.2節の古典の式 (25.10) に戻る。強い光（$s_0\gg1$）では $\rho_{ee}\to\frac12$ で、力は

$$F_{\mathrm{max}}=\frac{\hbar k\Gamma}{2}\tag{25.17}$$

を超えない。光を強くしても励起状態の占有は半分を超えず、散乱の回数は自然放出の速さで決まる上限 $\Gamma/2$ に達する。古典の振動子にはこの上限が無く、ここが2準位系と Lorentz 振動子の違いが現れる所である（第1章で述べた飽和）。また式 (25.15) を離調の関数として見ると、半値全幅は $\Gamma\sqrt{1+s_0}$ で、強い光ほど線が広がる（パワー広がり）。図 25.2 にこの形を示す。

Doppler のずれと速さに依る力

原子が速度 $\bm{v}$ で動いていると、原子の静止系で見た光の角周波数は $\omega_{\mathrm L}-\bm{k}\cdot\bm{v}$ にずれる（1次の Doppler 効果）。式 (25.15) の $\Delta$ を

$$\Delta\;\to\;\Delta-\bm{k}\cdot\bm{v}\tag{25.18}$$

に置き換えたものが、動く原子が受ける散乱力である。力が速さに依ることが、第26章（第26章）のレーザー冷却の出発点になる。赤い離調（$\Delta<0$）の光に向かって進む原子（$\bm{k}\cdot\bm{v}<0$）は、Doppler のずれで共鳴に近づくので、遠ざかる原子より強く押し返される。向かい合う2本の光の力を足すと、速さに比例する摩擦力が残る。

反対に、原子線を止めるときには、Doppler のずれは邪魔になる。次の例題で見るとおり、原子の速さが $\Gamma/k$ の桁より大きく変わると、同じ周波数の光は原子に届かなくなる。