出てくるもの（2）：双極子力とそのポテンシャル

光学と量子エレクトロニクス　第25章 §25.4　★★★ 双極子力のポテンシャルは $(\hbar\Delta/2)\ln(1+s)$ で、遠い離調では $\hbar\Omega^2/(4\Delta)=-\frac14\operatorname{Re}\alpha\lvert \mathcal E\rvert ^2$。散乱の速さとの比は $\Gamma/\lvert \Delta\rvert$ なので、遠い離調の強い光で原子を捕まえる

飽和を含む双極子力のポテンシャル

式 (25.13) の第1項に式 (25.14) の実部 $-2\Delta\Omega^2/(\Gamma^2+4\Delta^2+2\Omega^2)$ を入れると

$$\bm{F}_{\mathrm{dip}}=-\frac{2\hbar\Delta\,\Omega\nabla\Omega}{\Gamma^2+4\Delta^2+2\Omega^2}=-\frac{\hbar\Delta}{2}\,\frac{\nabla s}{1+s},\qquad s(\bm{r})=\frac{2\Omega(\bm{r})^2}{\Gamma^2+4\Delta^2}$$

である。$s$ は離調を入れた飽和パラメータで、$1+s=(1+s_0+(2\Delta/\Gamma)^2)/(1+(2\Delta/\Gamma)^2)$ を満たす。$\Delta$ が位置に依らなければ、右辺は勾配の形に書けて

$$\bm{F}_{\mathrm{dip}}=-\nabla U_{\mathrm{dip}},\qquad U_{\mathrm{dip}}(\bm{r})=\frac{\hbar\Delta}{2}\ln\bigl(1+s(\bm{r})\bigr)\tag{25.19}$$

となる。この形は J. P. Gordon, A. Ashkin (1980)、Phys. Rev. A 21, 1606 が光 Bloch 方程式の定常解から導いたものと同じである。赤い離調（$\Delta<0$）では $U_{\mathrm{dip}}<0$ で、$s$ が大きい所、つまり強度の大きい所ほど低い。原子は光の強い所へ引き寄せられる。青い離調では符号が逆で、原子は強い所から押し出される。

遠い離調（$\lvert \Delta\rvert \gg\Gamma,\Omega$）では $s\ll1$ で $\ln(1+s)\approx s$、$s\approx\Omega^2/(2\Delta^2)$ なので

$$U_{\mathrm{dip}}\approx\frac{\hbar\Omega^2}{4\Delta}=-\frac14\alpha'(\omega_{\mathrm L})\lvert \mathcal E\rvert ^2\tag{25.20}$$

になる。1つ目の形は第1章の回転波近似の光シフト $\hbar\Omega^2/(4\Delta)$、2つ目の形は古典の式 (25.9) で、式 (25.11) の実部 $\alpha'\approx-d^2/(\hbar\Delta)$ を入れれば両者は一致する。遠い離調では、双極子力のポテンシャルは基底状態の準位のずれ（光シフト）そのもので、原子は位置ごとに下がった基底状態の準位を、ポテンシャルの谷として感じる。第11章（第11章）で原子の気体の屈折率を $n-1\approx N\alpha'/(2\varepsilon_0)$ と決めた $\alpha'$ が、ここでは原子1個を捕まえるポテンシャルを決める。赤い離調では $n>1$ で引き寄せ、青い離調では $n<1$ で押し出す。屈折率と光の力は、同じ分極率の実部の符号で向きが決まる。

散乱の速さとの比：遠い離調で捕まえる理由

双極子力で原子を捕まえるとき、散乱は邪魔になる。光子を1個散乱するたびに原子は反跳を受け、運動エネルギーが平均で増える（加熱）。遠い離調での散乱の速さは、式 (25.14) から$\Gamma_{\mathrm{sc}}=\Gamma\rho_{ee}\approx\Gamma\Omega^2/(4\Delta^2)$ で、式 (25.20) と比べると

$$\frac{\hbar\Gamma_{\mathrm{sc}}}{\lvert U_{\mathrm{dip}}\rvert }=\frac{\Gamma}{\lvert \Delta\rvert }\tag{25.21}$$

になる。深さは $\Omega^2/\Delta$ に、散乱は $\Omega^2/\Delta^2$ に比例するので、強度と離調をともに大きくすると、深さを保ったまま散乱を減らせる。分極率の言葉では、遠い離調で $\alpha''/\alpha'\approx\Gamma/(2\lvert \Delta\rvert )$ になり、屈折だけが残って吸収が消えることに当たる。

光の周波数が遷移から遠く離れると、回転波近似の小さいパラメータ $\lvert \Delta\rvert /(\omega_0+\omega_{\mathrm L})$ が小さくなくなる（第1章の総合問題で見た $15\%$）。反共鳴の項を残した2準位の分極率（第1章の $\alpha_2$）に式 (25.2) を入れると、

$$U_{\mathrm{dip}}=-\frac{3\pi c^2}{2\omega_0^3}\Bigl(\frac{\Gamma}{\omega_0-\omega_{\mathrm L}}+\frac{\Gamma}{\omega_0+\omega_{\mathrm L}}\Bigr)I,\qquad \Gamma_{\mathrm{sc}}=\frac{3\pi c^2}{2\hbar\omega_0^3}\Bigl(\frac{\omega_{\mathrm L}}{\omega_0}\Bigr)^3\Bigl(\frac{\Gamma}{\omega_0-\omega_{\mathrm L}}+\frac{\Gamma}{\omega_0+\omega_{\mathrm L}}\Bigr)^2I\tag{25.22}$$

を得る。散乱の式の因子 $(\omega_{\mathrm L}/\omega_0)^3$ は、放射の減衰が振動の周波数の3乗に比例することから出る（R. Grimm, M. Weidemüller, Yu. B. Ovchinnikov (2000)、Adv. At. Mol. Opt. Phys. 42, 95 の式と同じ）。括弧の第1項だけを残し、$\omega_{\mathrm L}\approx\omega_0$ とおけば、式 (25.20) と散乱の速さ $\Gamma\Omega^2/(4\Delta^2)$ に戻る。