この章で取り出すもの：位置で変わる光の場と原子の重心

光学と量子エレクトロニクス　第25章 §25.1　★★★ 場は振幅と位相が位置で変わる単色の古典場、原子は2準位系に重心の位置を足したもの、結合は $-\hat{\bm{d}}\cdot\bm{E}(\bm{r},t)$。力は相互作用のエネルギーの位置の勾配で、1回の吸収で原子は $\hbar\bm{k}$ の反跳を受ける

第4部では、原子を空間の1点に固定して、光が内部の状態（基底状態 $| g \rangle$ と励起状態 $| e \rangle$）をどう動かすかを調べた。第5部では、原子の重心も動けるものとして扱い、光で原子の運動そのものを操る。冷却（第26章）・光格子と光ピンセット（第27章）・原子時計（第28章）・原子干渉計（第29章）はどれも、光が原子に及ぼす力を使う。この章でその力の式を導く。

この章で取り出すモードは、位置によって振幅と位相が変わる単色の古典的な光の場で、平面波・集光したガウスビーム・定在波がその例である。物質のモデルは、第18章・第19章の2準位原子に重心の位置 $\bm{r}$ と運動量を足したものである。結合は第1章と同じ双極子相互作用 $-\hat{\bm{d}}\cdot\bm{E}(\bm{r},t)$ で、新しいのは電場が原子の位置 $\bm{r}$ に依ることだけである。原子に働く力は、この相互作用のエネルギーを位置で微分したものになる。

結論を先に書く。光の場の複素振幅を $\mathcal E(\bm{r})=\lvert \mathcal E(\bm{r})\rvert \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi(\bm{r})}$ と振幅と位相に分けると、力は2つの項に分かれる。位相の勾配 $\nabla\varphi$（平面波なら波数ベクトル $\bm{k}$）に沿う力は、原子が光子を吸収しては自然放出する繰り返しで光子の運動量 $\hbar\bm{k}$ を受け取るもので、散乱力と呼ぶ。大きさは散乱の速さ×$\hbar k$ で、強い光でも $\hbar k\Gamma/2$ を超えない。振幅の勾配 $\nabla\lvert \mathcal E\rvert$ に沿う力は、ポテンシャル $U$ の勾配として書ける保存力で、双極子力と呼ぶ。遠い離調では $U=-\frac14\operatorname{Re}\alpha(\omega_{\mathrm L})\lvert \mathcal E\rvert ^2$ で、第3部で屈折率を決めた分極率と同じ量が原子を捕まえるポテンシャルを決める。散乱力は分極率の虚部（吸収）に、双極子力は実部（屈折）に比例するので、2つの力の比は離調で決まり、遠い離調ほど双極子力が勝つ。

25.1節で場・原子・結合を選び、光子の運動量と反跳を確かめる。25.2節で、古典の分極率の言葉で力を2つの項に分ける。25.3節と25.4節が「出てくるもの」で、光 Bloch 方程式の定常解から飽和を含む散乱力と双極子力のポテンシャルを導く。25.5節で置いた近似と確かめる実験の量を述べ、25.6節で光の放射圧と光ピンセットの授業の式と並べ、25.7節でまとめる。

モード・物質・結合の3つの選び方

場は、角周波数 $\omega_{\mathrm L}$ の単色の古典的な光

$$\bm{E}(\bm{r},t)=\operatorname{Re}\bigl[\bm{e}\,\mathcal E(\bm{r})\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega_{\mathrm L}t}\bigr],\qquad\mathcal E(\bm{r})=\lvert \mathcal E(\bm{r})\rvert \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi(\bm{r})}\tag{25.1}$$

とする。$\bm{e}$ は偏光の単位ベクトルで、位置に依らないとする。複素振幅 $\mathcal E(\bm{r})$ を振幅 $\lvert \mathcal E\rvert$ と位相 $\varphi$ に分けたことが、この章の出発点である。平面波は $\lvert \mathcal E\rvert$ が一定で $\varphi=\bm{k}\cdot\bm{r}$、集光したガウスビームの焦点の近くは $\lvert \mathcal E\rvert$ が軸から離れるにつれ $\mathrm{e}^{-\rho^2/w_0^2}$ で減り（$\rho$ は軸からの距離。第4章、第4章）、$\varphi\approx kz$ である。向かい合う2本の平面波を重ねた定在波 $\mathcal E\propto\cos kz$ は、$\varphi$ が一定で振幅だけが位置で変わる場である。平面波と定在波が2つの力を1つずつ取り出す場になることを、25.2節で見る。

物質は、第18章（第18章）の2準位原子（遷移の角周波数 $\omega_0$、双極子の行列要素 $\bm{d}_{eg}$）に、重心の位置 $\bm{r}$ と質量 $m$ を足したものとする。励起状態は自然放出の速さ $\Gamma$ で基底状態へ戻る（$\Gamma=1/T_1$。第19章の縦緩和で、ほかの緩和が無いとき $T_2=2/\Gamma$）。$\Gamma$ の値は第34章（第34章）で量子化した場から導き、ここでは結果

$$\Gamma=\frac{\omega_0^3d^2}{3\pi\varepsilon_0\hbar c^3}\qquad(d=\lvert \bm{d}_{eg}\cdot\bm{e}\rvert )\tag{25.2}$$

だけを使う。

結合は第1章（第1章）と同じ双極子相互作用で、電場を原子の重心の位置で評価する。回転波近似を当てると、$\omega_{\mathrm L}$ で回る座標で

$$\hat H=-\frac{\hbar\Delta}{2}\sigma_z-\frac{\hbar}{2}\bigl(\Omega_{\mathrm c}(\bm{r})\sigma_++\Omega_{\mathrm c}^*(\bm{r})\sigma_-\bigr),\qquad\Omega_{\mathrm c}(\bm{r})=\frac{d\,\mathcal E(\bm{r})}{\hbar}=\Omega(\bm{r})\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi(\bm{r})}\tag{25.3}$$

になる（$\Delta=\omega_{\mathrm L}-\omega_0$、$d$ は実数に選ぶ）。$\Omega_{\mathrm c}$ を複素 Rabi 周波数と呼び、その絶対値 $\Omega=d\lvert \mathcal E\rvert /\hbar$ が記法の正本の Rabi 周波数である。$\varphi$ が一定なら $\varphi=0$ に選べて、式 (25.3) は第1章の $-\frac{\hbar\Delta}{2}\sigma_z-\frac{\hbar\Omega}{2}\sigma_x$ に戻る。位置で位相が変わる場では、その位相を消すことはできない。

原子の重心の運動は古典的に扱い、Ehrenfest の定理に従って、力を

$$\bm{F}=-\langle \nabla_{\bm{r}}\hat H \rangle\tag{25.4}$$

とする。$\nabla_{\bm{r}}$ は重心の位置についての勾配で、式 (25.3) では $\Omega_{\mathrm c}(\bm{r})$ だけに掛かる。期待値は内部の状態の密度行列 $\hat\rho$ で取る。重心を古典的に扱ってよい条件は 25.5節で述べる。

光子の運動量と反跳

式 (25.4) を計算する前に、力の大きさの目安を作る。光子1個は運動量 $\hbar\bm{k}$（$k=\omega_{\mathrm L}/c$）を持つ。静止した原子が平面波から光子を1個吸収すると、運動量の保存から原子は $\hbar\bm{k}$ を受け取り、速さ

$$v_{\mathrm{rec}}=\frac{\hbar k}{m},\qquad E_{\mathrm{rec}}=\frac{\hbar^2k^2}{2m}\tag{25.5}$$

で動き出す。$v_{\mathrm{rec}}$ を反跳速度、$E_{\mathrm{rec}}$ を反跳エネルギーと呼ぶ。励起状態の原子は自然放出で光子を1個出し、その向きはでたらめなので、多くの回数で平均すると放出の反跳は打ち消し合う。吸収の反跳はいつも $\bm{k}$ の向きなので積み重なり、平均の力は「単位時間あたりの散乱の回数×$\hbar\bm{k}$」になる。これが散乱力の描像で、25.3節で式 (25.4) から同じ結果を導く。

1回の反跳は小さいが、散乱の速さは $\Gamma$ の桁（$10^7\,\mathrm{s^{-1}}$）なので、力は大きくなる。次の例題で数を当たる。