授業で習った形との対応

光学と量子エレクトロニクス　第25章 §25.6　★★ 電磁気学の放射圧 $I/c$・$2I/c$、光ピンセットの勾配力と散乱力、量子エレクトロニクスの光シフトが、この章の2つの力のどこに当たるか

電磁気学の授業では、光の放射圧を、電磁場の運動量密度 $\bm{S}/c^2$（$\bm{S}$ は Poynting ベクトル）から次の形で習う。強度 $I$ の平面波が面に垂直に当たるとき、単位面積あたりの力は

$$\frac{F}{A}=\frac{I}{c}\quad(\text{すべて吸収する面}),\qquad\frac{F}{A}=\frac{2I}{c}\quad(\text{すべて反射する面})$$

である。この章の散乱力 (25.10) $F=\sigma I/c$ は、吸収する面の式で面積 $A$ を吸収の断面積 $\sigma$ に置き換えたものである。原子は光を吸収して全方向へ散乱し直すので、散乱光の運動量の平均は $0$ で、反射でなく吸収の式になる。

光ピンセットの授業や解説では、波長より十分小さい誘電体の球（Rayleigh 粒子）に働く力を、勾配力と散乱力に分けて

$$\bm{F}_{\mathrm{grad}}=\frac{2\pi n_{\mathrm m}a^3}{c}\Bigl(\frac{m_{\mathrm r}^2-1}{m_{\mathrm r}^2+2}\Bigr)\nabla I,\qquad F_{\mathrm{scat}}=\frac{n_{\mathrm m}I}{c}\,\frac{8\pi}{3}(ka)^4a^2\Bigl(\frac{m_{\mathrm r}^2-1}{m_{\mathrm r}^2+2}\Bigr)^2$$

と習う（$a$ は球の半径、$n_{\mathrm m}$ は周りの液体の屈折率、$m_{\mathrm r}=n_{\mathrm p}/n_{\mathrm m}$ は粒子と液体の屈折率の比、$k=2\pi n_{\mathrm m}/\lambda$。Y. Harada, T. Asakura (1996)、Opt. Commun. 124, 529 の形）。勾配力はこの章の双極子力 $\frac14\alpha'\nabla\lvert \mathcal E\rvert ^2$ で、球の分極率に第11章（第11章）の Clausius–Mossotti の形 $\alpha=4\pi\varepsilon_0n_{\mathrm m}^2a^3(m_{\mathrm r}^2-1)/(m_{\mathrm r}^2+2)$ を入れ、媒質中の強度 $I=\frac12n_{\mathrm m}\varepsilon_0c\lvert \mathcal E\rvert ^2$ で書き直したものである。散乱力はこの章の $\sigma I/c$ で、透明な粒子では吸収の代わりに Rayleigh 散乱の断面積（$a^6/\lambda^4$ に比例）が入る。粒子が小さいほど散乱力は勾配力（$a^3$ に比例）に比べて速く小さくなり、Rayleigh 粒子は捕まえやすい。

量子エレクトロニクスの授業では、遠い離調の光が原子の準位をずらすこと（光シフト、AC Stark シフト）を2次の摂動論で $\Delta E_g=\lvert \langle e | \hat{\bm{d}}\cdot\bm{e} | g \rangle \rvert ^2\lvert \mathcal E\rvert ^2/(4\hbar\Delta)$ と習う。これは式 (25.20) の $\hbar\Omega^2/(4\Delta)$ と同じで、この章では、その準位のずれが位置で変わるとき、勾配が原子に働く力になると読む。