この章のまとめ

(1) $\Gamma=1/\tau=3.812\times10^7\,\mathrm s^{-1}$、$\Gamma/2\pi=6.07\,\mathrm{MHz}$。$\sigma_0=3\lambda^2/(2\pi)=2.91\times10^{-13}\,\mathrm m^2$。$I_{\mathrm{sat}}=\hbar\omega_0\Gamma/(2\sigma_0)=\hbar\omega_0^3\Gamma/(12\pi c^2)=1.67\,\mathrm{mW\,cm^{-2}}$（例題 24.1・24.3）。2つの式が一致するのは、$\Gamma$ と $d$ の関係（第20章）を使って Rabi 周波数を強度で書いたからで、飽和強度は遷移の強さによらず波長と寿命だけで決まる。

(2) $\Gamma_{\mathrm D}/2\pi=511\,\mathrm{MHz}$（例題 24.2）。線の中心の気体の断面積は、式 (24.9) の数値積分で $\bar\sigma(0)=0.0173\,\sigma_0=5.03\times10^{-15}\,\mathrm m^2$（式 (24.10) の近似では $0.0175\,\sigma_0$）である。吸収係数は $\alpha=N_{\mathrm a}\bar\sigma(0)=15.1\,\mathrm m^{-1}$ で、セルの透過率は $\mathrm{e}^{-15.1\times0.05}=0.470$ になる。Doppler 幅が無ければ断面積は約58倍で、セルはほとんど光を通さない。

(3) $s=I/I_{\mathrm{sat}}=0.835/1.669=0.500$。静止した原子の線は $\Gamma_s=\Gamma\sqrt{1.5}$、$\Gamma_s/2\pi=7.43\,\mathrm{MHz}$ に太る。

(4) 式 (24.16) から、線の中心の吸収は $1/\sqrt{1.5}=0.816$ 倍になり、$18.4\,\%$ 減る。弱いポンプ光の1次の式 $s/2$ では $25\,\%$ で、$s=0.5$ では1次の式は深さを大きく見積もる。谷の半値全幅は式 (24.17) から $\frac{\Gamma}{2}(1+\sqrt{1.5})$、周波数で $6.75\,\mathrm{MHz}$ である。Doppler 幅 $511\,\mathrm{MHz}$ の中に、その約76分の1の幅の谷が現れる。ここで式 (24.15) の $f(u)$ を $f(0)$ で置き換えたので、深さと幅には $\Gamma/\omega_{\mathrm D}\approx0.03$ の程度の補正が付く。

(5) 例題 24.7 と同じく $\Gamma_{\mathrm t}/2\pi=101\,\mathrm{kHz}$ で、谷の幅 $6.75\,\mathrm{MHz}$ の $1.5\,\%$ にとどまるので、谷の幅はパワーによる広がりを含んだ自然幅で決まる。レーザーの線幅が谷の幅と同じ程度だと、プローブ光自身のスペクトルが谷を平均して浅く太くし、谷の中心を読む精度が落ちる。レーザーの線幅を谷の幅 $6.75\,\mathrm{MHz}$ より十分細く（$\mathrm{MHz}$ を下回るように）しておく必要がある。第22章の Schawlow–Townes の線幅はレーザーの線幅の下限を与え、実際の線幅は共振器の長さの揺らぎなどで決まるので、谷の信号を共振器の長さに戻して周波数を固定する。