授業で習った形との対応

光学と量子エレクトロニクス　第24章 §24.6　★★ 学部の授業の線形関数 $g(\nu)$ と断面積 $\sigma(\nu)=\frac{\lambda^2}{8\pi}\frac{g_2}{g_1}A_{21}g(\nu)$ は、この章の式 (24.5) を周波数 $\nu$ で書き、原子の向きを平均したものである

学部のレーザー工学や量子エレクトロニクスの授業では、線の形を周波数 $\nu$ の規格化された線形関数 $g(\nu)$（$\int g(\nu)\,\mathrm{d}\nu=1$）で書く。自然幅の線は

$$g(\nu)=\frac{\Delta\nu/2\pi}{(\nu-\nu_0)^2+(\Delta\nu/2)^2},\qquad \Delta\nu_{\mathrm N}=\frac{1}{2\pi\tau}\tag{24.22}$$

で、Doppler 幅の線は半値全幅 $\Delta\nu_{\mathrm D}=\frac{2\nu_0}{c}\sqrt{\frac{2\ln2\, k_{\mathrm B} T}{m}}$ の Gauss 型である。この $\Delta\nu_{\mathrm N}$ と $\Delta\nu_{\mathrm D}$ は、この章の $\Gamma$ と $\Gamma_{\mathrm D}$ をそれぞれ $2\pi$ で割ったもので（Rb の D2 線で $6.07\,\mathrm{MHz}$ と $511\,\mathrm{MHz}$）、式 (24.6) と式 (24.11) と同じ内容である。

吸収の断面積は、Einstein 係数を使って

$$\sigma(\nu)=\frac{\lambda^2}{8\pi}\,\frac{g_2}{g_1}\,A_{21}\,g(\nu)\tag{24.23}$$

と書かれる（$g_1$, $g_2$ は下と上の準位の縮退度）。両辺を $\nu$ で積分すると $\int\sigma\,\mathrm{d}\nu=\frac{\lambda^2}{8\pi}\frac{g_2}{g_1}A_{21}$、角周波数で積分すると

$$\int\sigma\,\mathrm{d}\omega=\frac{g_2}{g_1}\,\frac{\lambda^2A_{21}}{4}=\frac{\hbar\omega_0}{c}\,B_{12}\tag{24.24}$$

になる。最後の等号は、第20章（第20章）の角周波数あたりのエネルギー密度 $u(\omega)$ で定義した係数の関係 $g_1B_{12}=g_2B_{21}$, $A_{21}=\frac{\hbar\omega^3}{\pi^2c^3}B_{21}$ から出る。帯域の広い光（スペクトル $u(\omega)$）に対する吸収の率 $B_{12}u$ と、断面積で数えた吸収の率 $\int\sigma(\omega)\,cu(\omega)\,\mathrm{d}\omega/(\hbar\omega)$ が一致するという条件が、この等号の中身である。線の面積が Einstein 係数で決まり、線の形 $g$ は面積を変えないことを、24.1節で式 (24.7) として見た。

この章の式 (24.7) の面積 $3\lambda^2\Gamma/4$ は、式 (24.24) で $g_2/g_1=1$ とした $\lambda^2A_{21}/4$ の3倍である。差の理由は向きにある。Einstein 係数は、等方的な光と向きのそろっていない原子に対して定義した量で、双極子と電場のなす角 $\theta$ について $\cos^2\theta$ を向きで平均した $1/3$ が含まれている。この章では双極子が電場の向きにそろっているとしたので、その $1/3$ が無く、3倍になる。$J=0\to J=1$ の遷移で上の準位の3つの副準位を数えると $g_2/g_1=3$ で、式 (24.23) のピークは $\frac{\lambda^2}{8\pi}\cdot3\cdot A_{21}\cdot\frac{2}{\pi\Delta\nu}\big|_{\Delta\nu=A_{21}/2\pi}=\frac{3\lambda^2}{2\pi}$ となり、この章の $\sigma_0$ と一致する。