出てくるもの（2）：時空の並進とエネルギー運動量テンソル

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第2部 第7章 §2.7.4　★★★ 並進の Noether 流がエネルギー密度・エネルギーの流れ・運動量密度を1つのテンソルにまとめる

正準エネルギー運動量テンソル

$\mathcal L$ が $x$ を陽に含まないとき、時空の並進 (2.7.5) は $\Lambda^\mu=-b^\mu\mathcal L$ の準対称性だった。定理 2.7.2 の流れは

$$j^\mu=\sum_a\frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_\mu\phi_a)}\bigl(-b^\nu\partial_\nu\phi_a\bigr)+b^\mu\mathcal L=-b^\nu\,T^\mu{}_\nu ,$$

$$T^\mu{}_\nu\coloneqq\sum_a\frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_\mu\phi_a)}\partial_\nu\phi_a-\delta^\mu{}_\nu\mathcal L\tag{2.7.16}$$

になる。$b^\nu$ は4つの方向を自由に選べるので、$\nu$ ごとに保存則が1本ずつ、合わせて4本出る。

$$\partial_\mu T^\mu{}_\nu=0\qquad(\nu=0,1,2,3).\tag{2.7.17}$$

$T^\mu{}_\nu$ を正準エネルギー運動量テンソルと呼ぶ。$\mathcal L$ が $x$ を陽に含むときは、同じ計算で $\partial_\mu T^\mu{}_\nu=-\partial\mathcal L/\partial x^\nu|_{\text{陽}}$ となり、陽に含む方向の保存則だけが壊れる（例題 2.7.1 の (3)）。

各成分の意味

$\nu=0$（時間の並進）の流れの時間成分は、$\partial/\partial(\partial_0\phi_a)=c\,\pi_a$、$\partial_0=\frac1c\partial_t$ から

$$T^0{}_0=\sum_a\pi_a\partial_t\phi_a-\mathcal L\eqqcolon\mathcal H\tag{2.7.18}$$

で、場の Hamiltonian 密度そのものである（第2部第5章）。粒子の $H=\sum_ip_i\dot q_i-L$ が時刻の並進の保存量だったことの場の版になっている。$\nu=i$（空間の並進）の時間成分は $T^0{}_i=c\sum_a\pi_a\partial_i\phi_a$ である。全体の量を

$$P_\nu\coloneqq\frac1c\int T^0{}_\nu\,\mathrm{d}^3x,\qquad P_0=\frac Ec,\quad E=\int\mathcal H\,\mathrm{d}^3x,\qquad \bm{P}=-\int\sum_a\pi_a\nabla\phi_a\,\mathrm{d}^3x\tag{2.7.19}$$

とまとめると、$P^\mu=(E/c,\bm{P})$ は場の4元運動量で、$E$ が場のエネルギー、$\bm{P}$ が場の運動量である（$P^i=-P_i$）。$\bm{P}$ の負号は、場の形を $+x$ の向きにずらすと $\delta\phi=-\epsilon\,\partial_x\phi$ となることの反映で、粒子の $\sum_ip_iK_i$ と同じ形である。

添字を $T^{\mu\nu}=T^\mu{}_\lambda\eta^{\lambda\nu}$ と上げ、エネルギー密度 $u$、エネルギーの流れの密度 $\bm{S}$、運動量密度 $\bm{g}$ を

$$u=T^{00},\qquad S^i=c\,T^{i0},\qquad g^i=\frac1cT^{0i}\tag{2.7.20}$$

で定めると、$\nu=0$ の保存則は $\partial_tu+\nabla\cdot\bm{S}=0$（エネルギーの連続の式）、$\nu=i$ の保存則は $\partial_tg^i+\sum_j\partial_jT^{ji}=0$（運動量の連続の式）になる。$T^{ji}$ は「$i$ 成分の運動量が $j$ の向きに流れる密度」で、応力（圧力）にあたる。

実スカラー場 $\mathcal L=\frac12\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi-\frac12\kappa^2\phi^2$ では、$\pi=\partial_t\phi/c^2$ で

$$u=\frac12\Bigl(\frac{(\partial_t\phi)^2}{c^2}+(\nabla\phi)^2+\kappa^2\phi^2\Bigr),\qquad \bm{S}=-\partial_t\phi\,\nabla\phi,\qquad \bm{g}=-\frac{\partial_t\phi\,\nabla\phi}{c^2}=\frac{\bm{S}}{c^2}\tag{2.7.21}$$

となる。$u$ は3つの2乗の和で負にならない。$T^{\mu\nu}$ はこの場合 $\mu,\nu$ について対称で、$\bm{g}=\bm{S}/c^2$（エネルギーの流れと運動量密度が比例する）はその表れである。