出てくるもの（1）：位相の回転と電荷の保存

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第2部 第7章 §2.7.3　★★★ 内部対称性の Noether 流が、電荷と確率の流れになる

複素スカラー場の流れ

複素スカラー場 (2.7.4) の位相の回転 $K_\psi=-\mathrm{i}\psi$、$K_{\psi^*}=\mathrm{i}\psi^*$ を定理 2.7.2 に入れる。$\partial\mathcal L/\partial(\partial_\mu\psi)=\partial^\mu\psi^*$、$\partial\mathcal L/\partial(\partial_\mu\psi^*)=\partial^\mu\psi$、$\Lambda^\mu=0$ なので

$$j^\mu=\partial^\mu\psi^*(-\mathrm{i}\psi)+\partial^\mu\psi\,(\mathrm{i}\psi^*)=\mathrm{i}\bigl(\psi^*\partial^\mu\psi-\psi\,\partial^\mu\psi^*\bigr)\tag{2.7.12}$$

を得る。運動方程式を使って直接確かめると、$\partial_\mu j^\mu=\mathrm{i}(\psi^*\partial_\mu\partial^\mu\psi-\psi\,\partial_\mu\partial^\mu\psi^*)=\mathrm{i}(\psi^*(-\kappa^2\psi)-\psi(-\kappa^2\psi^*))=0$ である。

Noether 流の全体の定数倍は決まらない。$\epsilon$ は変換の大きさを測る目盛りにすぎず、$\epsilon$ を $2\epsilon$ に取り直すと $j^\mu$ も2倍になる。回す向きを $\mathrm{e}^{+\mathrm{i}\epsilon}$ に取れば符号も反転する。この章では、正の振動数の平面波 $\psi=A\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}(\omega t-kx)}$（$\omega>0$）で $j^0>0$ になる向きを選んだ。実際、$\partial^0\psi=\frac1c\partial_t\psi=-\frac{\mathrm{i}\omega}c\psi$ から

$$j^0=\frac{2\omega}c\lvert A\rvert ^2,\qquad j^x=2k\lvert A\rvert ^2,\qquad \frac{c\,j^x}{j^0}=\frac{c^2k}{\omega}\tag{2.7.13}$$

となる（$\partial^x=-\partial_x$ に注意）。流れの速さ $c^2k/\omega$ は、分散関係 $\omega=c\sqrt{k^2+\kappa^2}$ の群速度 $\mathrm{d}\omega/\mathrm{d} k$ に等しい。負の振動数の平面波 $A\,\mathrm{e}^{+\mathrm{i}(\omega t-kx)}$ では $j^0=-2\omega\lvert A\rvert ^2/c<0$ になり、$j^0$ は正の値にも負の値にもなる。したがって Klein–Gordon 方程式の $j^0$ は確率の密度とは読めず、正負を持つ電荷の密度と読む。この読み方は 第5部第4章で、粒子と反粒子の区別として回収する。

Schrödinger 場の流れ

非相対論の量子力学の波動関数も、場として Lagrangian 密度から出すことができる。

$$\mathcal L=\mathrm{i}\hbar\,\psi^*\partial_t\psi-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla\psi^*\cdot\nabla\psi-V(\bm{x})\,\psi^*\psi .\tag{2.7.14}$$

$\psi^*$ についての Euler–Lagrange 方程式は $\mathrm{i}\hbar\,\partial_t\psi+\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi-V\psi=0$、すなわち Schrödinger 方程式である。（$\mathcal L$ は実数でないが、虚部は $\frac{\hbar}{2}\partial_t\lvert \psi\rvert ^2$ という全微分なので、運動方程式には影響しない。）同じ位相の回転 $K_\psi=-\mathrm{i}\psi$、$K_{\psi^*}=\mathrm{i}\psi^*$ で $\delta\mathcal L=0$ となる。この節は非相対論なので、時間の成分は $\partial_t$ のまま書く。時間の成分は $\partial\mathcal L/\partial(\partial_t\psi)\,K_\psi=\mathrm{i}\hbar\psi^*(-\mathrm{i}\psi)=\hbar\lvert \psi\rvert ^2$（$\partial\mathcal L/\partial(\partial_t\psi^*)=0$）、空間の成分は $\bigl(-\frac{\hbar^2}{2m}\partial_k\psi^*\bigr)(-\mathrm{i}\psi)+\bigl(-\frac{\hbar^2}{2m}\partial_k\psi\bigr)(\mathrm{i}\psi^*)$ で、全体を $\hbar$ で割ると

$$\rho_\psi=\lvert \psi\rvert ^2,\qquad \bm{j}_\psi=\frac{\hbar}{2m\mathrm{i}}\bigl(\psi^*\nabla\psi-\psi\nabla\psi^*\bigr),\qquad \frac{\partial \rho_\psi}{\partial t}+\nabla\cdot\bm{j}_\psi=0\tag{2.7.15}$$

になる。量子力学の確率密度と確率の流れが、位相の回転の Noether 流として出てきた。

電荷の保存と Maxwell 方程式

場が電荷 $q$ を持つ粒子を表すとき、電流密度は Noether 流に定数を掛けたもの（Schrödinger 場なら $J^\mu=q\,(c\rho_\psi,\bm{j}_\psi)$）になり、電荷の保存 $\partial_\mu J^\mu=0$ は位相の回転の対称性から出る。一方、第2部第6章の Maxwell 方程式 $\partial_\mu F^{\mu\nu}=\mu_0J^\nu$ の両辺に $\partial_\nu$ を掛けると、左辺は対称な $\partial_\nu\partial_\mu$ と反対称な $F^{\mu\nu}$ の縮約なので恒等的に $0$ で、$\partial_\nu J^\nu=0$ が出る。Maxwell 方程式は、保存しない電流を源にすると解を持たない。電磁場とつなぐ物質の場は、位相の回転の対称性を持ち、その Noether 流を電流とする必要がある。電磁場の側の制約（ゲージ不変性）と物質の側の対称性がなぜ組になるのかは、第2部第8章の題材である。