授業で習った形との対応

2026年10月15日7分で読めますAI生成教科書『虎の巻』第2部第7章場の Noether の定理（電荷保存・エネルギー運動量テンソル）

授業での導き方
この章の形
木下の層

AI 生成・木下が未勉強

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第2部第7章 §2.7.6　★★ 連続の式・Poynting の定理・確率の流れ・弦のエネルギーの流れを、Noether 流の成分として読み直す

授業での導き方

解析力学を使わない授業では、保存則はそれぞれの運動方程式を変形して出す。電磁気学では、Ampère–Maxwell の法則 $\nabla\times\bm{B}=\mu_0\bm{J}+\mu_0\varepsilon_0\partial_t\bm{E}$ の発散を取り、 $\nabla\cdot(\nabla\times\bm{B})=0$ と Gauss の法則 $\nabla\cdot\bm{E}=\rho/\varepsilon_0$ から $\partial_t\rho+\nabla\cdot\bm{J}=0$ を出す。Poynting の定理は恒等式 $\nabla\cdot(\bm{E}\times\bm{B})=\bm{B}\cdot(\nabla\times\bm{E})-\bm{E}\cdot(\nabla\times\bm{B})$ に Faraday の法則と Ampère–Maxwell の法則を入れて出す。Maxwell の応力は、領域の中の電荷と電流が受ける Lorentz 力 $\int(\rho\bm{E}+\bm{J}\times\bm{B})\,\mathrm{d}^3x$ を、Maxwell 方程式で場だけの式に書き換え、表面積分にまとめて出す。量子力学では、Schrödinger 方程式に $\psi^*$ を掛け、複素共役の式との差を取って $\partial_t\lvert \psi\rvert ^2+\nabla\cdot\bm{j}=0$ を出す。弦の波では、張力 $F$ の弦の横変位 $y(x,t)$ について、左側の弦が右側にする仕事率 $-F\,\partial_xy\,\partial_ty$ をエネルギーの流れとして書く。

この章の形

この章の形では、どれも「何の対称性の Noether 流か」の1行で言える。対応を表 2.7.1 にまとめる。

表 2.7.1　授業で習った保存則と、この章の Noether 流

保存則	授業での式	この章での読み方
電荷の保存	$\partial_t\rho+\nabla\cdot\bm{J}=0$	物質の場の位相の回転の Noether 流（2.7.3節）。Maxwell 方程式からも恒等的に出る
確率の保存	$\partial_t\lvert \psi\rvert ^2+\nabla\cdot\bm{j}=0$	Schrödinger 場の位相の回転の Noether 流 (2.7.15)
Poynting の定理	$\partial_tu+\nabla\cdot\bm{S}=-\bm{J}\cdot\bm{E}$	時間の並進の流れ、 $\partial_\mu T^{\mu0}=-F^{0\lambda}J_\lambda$
Maxwell の応力	$\bm{f}=\nabla\cdot\overleftrightarrow{\sigma}-\partial_t\bm{g}$	空間の並進の流れ、 $T^{ij}=-\sigma_{ij}$
弦のエネルギーの流れ	$-F\,\partial_xy\,\partial_ty$	$S=cT^{x0}$ （総合問題の (4) と同じ形）

授業の導き方では、保存則が成り立つことを運動方程式の変形で確かめるので、どの量が保存するかを先に知っている必要がある。この章の形では、 $\mathcal L$ の対称性を1つ見つければ保存する流れが式 (2.7.8) で計算でき、運動方程式を変形する手順を考えなくてよい。その代わりに $\mathcal L$ を知っていなければならず、Noether 流には例題 2.7.2 の不定性（電磁場の正準テンソルのゲージ依存性）が残る。授業の式は Maxwell 方程式から直接出すので、最初から改良した形 $T^{\mu\nu}$ になっている。

例題 2.7.7　確率の流れを2通りで出す ★★

オリジナル

(1) Schrödinger 方程式 $\mathrm{i}\hbar\,\partial_t\psi=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi+V\psi$ （ $V$ は実数）から、授業の方法で $\partial_t\lvert \psi\rvert ^2+\nabla\cdot\bm{j}_\psi=0$ を導き、 $\bm{j}_\psi$ が式 (2.7.15) の Noether 流と一致することを確かめよ。
(2) 1次元で $V=0$ の領域の $\psi=A\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} kx}+B\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i} kx}$ （ $A,B$ は実数、 $k>0$ ）の $j_\psi$ を求め、反射のある散乱の言葉で読め。

解答

(1) $\partial_t\lvert \psi\rvert ^2=\psi^*\partial_t\psi+\psi\,\partial_t\psi^*$ 。Schrödinger 方程式とその複素共役から

$\psi^*\partial_t\psi=\frac{1}{\mathrm{i}\hbar}\Bigl(-\frac{\hbar^2}{2m}\psi^*\nabla^2\psi+V\lvert \psi\rvert ^2\Bigr),\qquad \psi\,\partial_t\psi^*=-\frac{1}{\mathrm{i}\hbar}\Bigl(-\frac{\hbar^2}{2m}\psi\nabla^2\psi^*+V\lvert \psi\rvert ^2\Bigr).$

足すと $V$ の項が打ち消し合い、 $\partial_t\lvert \psi\rvert ^2=-\frac{\hbar}{2m\mathrm{i}}(\psi^*\nabla^2\psi-\psi\nabla^2\psi^*)$ 。 $\psi^*\nabla^2\psi-\psi\nabla^2\psi^*=\nabla\cdot(\psi^*\nabla\psi-\psi\nabla\psi^*)$ （ $\nabla\psi^*\cdot\nabla\psi$ の項が打ち消し合う）なので、 $\bm{j}_\psi=\frac{\hbar}{2m\mathrm{i}}(\psi^*\nabla\psi-\psi\nabla\psi^*)$ とおけば連続の式になる。これは式 (2.7.15) と同じ式である。授業の方法では「 $V$ が実数だから打ち消し合う」という所に条件が現れる。Noether の方法では、 $V$ が実数のとき $\mathcal L$ の $-V\psi^*\psi$ が位相の回転で変わらない、という形で同じ条件が現れる。

(2) $\partial_x\psi=\mathrm{i} k(A\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} kx}-B\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i} kx})$ から $\psi^*\partial_x\psi=\mathrm{i} k\bigl(A^2-B^2+AB\,\mathrm{e}^{2\mathrm{i} kx}-AB\,\mathrm{e}^{-2\mathrm{i} kx}\bigr)=\mathrm{i} k(A^2-B^2)-2kAB\sin2kx$ で、交差項 $-2kAB\sin2kx$ は実数なので、複素共役との差では消える。残りは

$j_\psi=\frac{\hbar}{2m\mathrm{i}}\cdot2\mathrm{i} k(A^2-B^2)=\frac{\hbar k}{m}(A^2-B^2).$

右へ進む入射波の流れ $\frac{\hbar k}{m}A^2$ から、左へ戻る反射波の流れ $\frac{\hbar k}{m}B^2$ を引いたものが正味の流れで、入射波と反射波の干渉の項は流れに寄与しない。

木下の勉強ステータス

木下はまだこの記事を勉強していません。

AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。連絡先：support@tecktom.com

この記事が含まれている連載

連載AI生成教科書『虎の巻』授業とは別に、分野をまたいで気になったことを AI（Claude）が教材にし、木下が勉強しながら公開しています。上の段は AI が書いた本文、下の段は木下が勉強したあとに書いた文です。1787本の記事・木下智貴

← AI生成教科書『虎の巻』の記事一覧へ