この章のまとめ

(1) $\delta u_n=\epsilon$ では速度が変わらず、ばねの伸び $u_{n+1}-u_n$ も変わらないので、すべての経路で $\delta L=0$ である。保存量は $Q=\sum_np_n\cdot1=\sum_nm\dot u_n$ で、原子の運動量の和（全運動量）である。

(2) $u_{n+1}-u_n=a\,\partial_x\phi+\mathcal{O}(a^2)$、$\sum_n\to\int\mathrm{d} x/a$ と置き換えるのは、第2部第4章の式 (2.4.14) を出した連続極限そのもので、その結果 $\rho=m/a$（線密度）、$Y=Ka$、$v=\sqrt{Y/\rho}=a\sqrt{K/m}$ を引用すればよい。Euler–Lagrange 方程式は $\rho\,\partial_t^2\phi-Y\partial_x^2\phi=0$ である。

(3) $\delta\phi=\epsilon$ なので Noether 流の式の $K_a$ は $1$（ばね定数 $K$ は $Y$ の中に入っていて、ここには出ない）、$\delta\mathcal L=0$（$\mathcal L$ は $\phi$ の微分しか含まない）なので、式 (2.7.8) の時間成分と空間成分は

$$j^t=\frac{\partial \mathcal L}{\partial (\partial_t\phi)}=\rho\,\partial_t\phi,\qquad j^x=\frac{\partial \mathcal L}{\partial (\partial_x\phi)}=-Y\partial_x\phi .$$

（この問題は非相対論の1次元なので、$\partial_tj^t+\partial_xj^x=0$ の形に書く。）連続の式は $\rho\,\partial_t^2\phi-Y\partial_x^2\phi=0$ で、運動方程式そのものである。保存する量は $\int\rho\,\partial_t\phi\,\mathrm{d} x$ で、(1) の原子の運動量の和の連続版である。$-j^x=Y\partial_x\phi$ はばねの張力（伸びに比例）で、運動量は張力の差として隣へ流れる。

(4) $\pi=\rho\,\partial_t\phi$ で、式 (2.7.18) から $u=\pi\,\partial_t\phi-\mathcal L=\frac\rho2(\partial_t\phi)^2+\frac Y2(\partial_x\phi)^2$。エネルギーの流れは $\nu=t$ の流れの空間成分 $S=\frac{\partial\mathcal L}{\partial(\partial_x\phi)}\partial_t\phi=-Y\partial_x\phi\,\partial_t\phi$ で、張力 $-Y\partial_x\phi$ と速度の積（仕事率）である。空間の並進 $\delta\phi=-\epsilon\,\partial_x\phi$ の密度は $g=\pi(-\partial_x\phi)=-\rho\,\partial_t\phi\,\partial_x\phi$ である（式 (2.7.19) の1次元版）。

(5) $\partial_t\phi=-vf'$, $\partial_x\phi=f'$。(3) の保存量は $\int\rho(-vf')\mathrm{d} x=-\rho v\bigl[f\bigr]_{-\infty}^{\infty}=0$ である。一方 $u=\frac\rho2v^2f'^2+\frac Y2f'^2=Yf'^2$（$\rho v^2=Y$）、$g=\rho vf'^2$ なので、各点で $g=u/v$ が成り立ち、積分して $G=E/v$。パルスが通り過ぎても原子は元の位置に戻るだけなので、原子の運動量の和は $0$ のままである。一方、パルスはエネルギー $E$ と擬運動量 $E/v$ を運ぶ。2つの保存量は別々の対称性から出ている。全運動量は場の値をずらす内部対称性（原子をずらす）から、擬運動量は場の形を空間でずらす並進（パルスをずらす）から出る。この区別は、固体の中のフォノンが持つ運動量（結晶運動量）が原子の運動量の和でないことに対応する。

(6) $v=\sqrt{50/2.0}=5.0\,\mathrm{m/s}$。$f'(s)=-\frac{2As}{w^2}\mathrm{e}^{-s^2/w^2}$ から

$$\int f'^2\,\mathrm{d} s=\frac{4A^2}{w^4}\int s^2\mathrm{e}^{-2s^2/w^2}\mathrm{d} s=\frac{4A^2}{w^4}\cdot\frac{\sqrt\pi\,w^3}{4\sqrt2}=\frac{A^2}{w}\sqrt{\frac\pi2}=1.253\times10^{-3}\,\mathrm m .$$

$E=Y\int f'^2\mathrm{d} s=50\times1.253\times10^{-3}=0.0627\,\mathrm J$、$G=E/v=0.0125\,\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}$、原子の運動量の和は $0$ である。間隔 $a=1\,\mathrm{mm}$ の格子の和で同じ量を計算しても、$E$ と $G$ は連続の値と $0.1\%$ 以内で一致する（$w\gg a$ なので連続極限がよく合う）。