この章で選ぶ $L$：ばねでつないだ原子の列

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第2部 第4章 §2.4.1　★★★ 原子の列の $L$ を書き、ばね定数 $K$ が原子間ポテンシャルの2階微分であることと、そこで調和近似を使ったことを確かめる

この部のここまでの章で扱ったのは、粒子が1個から数個の系だった。電磁場や重力場のような「場」は、空間の各点に1つずつ自由度を持つので、自由度が無限にある。自由度が無限にある系に Lagrangian をどう書けばよいかは、いきなり考えると分かりにくい。この章では、すでに書き方を知っている有限個の自由度の系から出発し、自由度を増やしていく極限として場の $L$ を作る。

選ぶのは、質量 $m$ の原子を $N$ 個、ばね定数 $K$ のばねで一直線につないだ列である。この列の $L$ は

$$L=\sum_{j}\frac12m\dot u_j^2-\sum_j\frac12K(u_{j+1}-u_j)^2$$

の1行で書ける（$u_j$ は $j$ 番目の原子のつり合いの位置からのずれ）。これは結晶の格子振動のいちばん簡単な模型で、固体物理でフォノンと呼ぶものの古典版でもある。当てる道具は、第2部第1章の小振動の方法（$L$ を2次形式にして基準座標に分ける）と、第1部第10章の Noether の定理である。列には「原子の番号を1つずらしても同じ」という対称性があり、この対称性によって基準座標の形が平面波に決まる。

出てくるものは3つある。1つめは、角振動数 $\omega$ と波数 $k$ の関係（分散関係）$\omega=2\sqrt{K/m}\,\lvert \sin(ka/2)\rvert$ である。2つめは、$L$ が $N$ 個の独立な調和振動子の和に分かれること、つまり基準座標である。3つめは、格子間隔 $a$ を $0$ に送ったとき、列の $L$ が連続な弦の $L=\int\bigl(\frac12\rho\,\partial_tu^2-\frac12Y\,\partial_xu^2\bigr)\mathrm{d} x$ になることである。最後の式の被積分関数がLagrangian 密度で、これが 第2部第5章以降で場を扱うときの出発点になる。連続の極限で何を捨てたか（短い波長のモードと、分散関係の曲がり）も式で確かめ、場の理論の「紫外の切断」への伏線として残す。

列の $L$

直線上に質量 $m$ の原子が $N$ 個並び、つり合いのとき $j$ 番目の原子は $x_j=ja$ にあるとする（$a$ は格子定数、$j=0,1,\dots,N-1$）。原子は列の向きにだけ動き、時刻 $t$ の位置を $ja+u_j(t)$ と書く。一般化座標は $N$ 個のずれ $u_0,\dots,u_{N-1}$ である。両端の扱いは、この節から第4節までは周期境界条件 $u_{j+N}=u_j$ にする。列を輪につないだと考えてよい。輪にすると端が無くなり、どの原子も同じ立場になるので、対称性が見やすくなる。壁や自由端のある列は第5節と総合問題で扱う。

隣り合う原子は、ばね定数 $K$ のばねでつながっているとする。$j$ 番目と $j+1$ 番目の間のばねの伸びは $(ja+a+u_{j+1})-(ja+u_j)-a=u_{j+1}-u_j$ なので、

図 2.4.1　ばねでつないだ原子の列。破線がつり合いの位置 $ja$、黒丸が時刻 $t$ の原子で、ずれ $u_j$ が一般化座標になる。ばねの伸びは隣どうしのずれの差 $u_{j+1}-u_j$ だけで決まる

運動エネルギーは原子ごとの和、位置エネルギーはばねごとの和である。位置エネルギーが「ずれの差」だけで書けていることが、この章の全部の結果の元になる。列全体を同じだけずらす $u_j\to u_j+\epsilon$ では、どのばねの伸びも変わらない。

ばね定数はポテンシャルの2階微分

実際の結晶の原子の間にばねがあるわけではない。原子の間には距離 $r$ だけによる相互作用のポテンシャル $\phi(r)$ があり、つり合いの間隔 $a$ は $\phi'(a)=0$ で決まる。隣どうしの距離は $a+(u_{j+1}-u_j)$ なので、$\phi$ を $a$ のまわりで Taylor 展開すると

$$\phi(a+\delta)=\phi(a)+\frac12\phi''(a)\,\delta^2+\frac16\phi'''(a)\,\delta^3+\mathcal{O}(\delta^4),\qquad \delta=u_{j+1}-u_j\tag{2.4.2}$$

になる。1次の項は $\phi'(a)=0$ で消える。定数 $\phi(a)$ は運動方程式を変えないので落とし、3次以上の項を捨てると、$K=\phi''(a)$ のばねと同じ式 (2.4.1) になる。3次以上を捨てる近似を調和近似と呼ぶ。ここではポテンシャルを $\phi$ と書き、運動エネルギーとの差を取る前の全体の位置エネルギー $V$ と区別した。

調和近似が使えるかどうかは、ずれの差 $\delta$ が $a$ に比べて十分小さいかで決まる。3次の項と2次の項の比は $\phi'''(a)\delta/(3\phi''(a))$ で、例題 2.4.1 で見るように、典型的な原子間ポテンシャルではこの比が $\delta/a$ の数倍になる。