当てる道具：小振動の方法と、番号をずらす対称性

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第2部 第4章 §2.4.2　★★★ 運動方程式は隣だけを結ぶ連立方程式になる。番号をずらしても $L$ が変わらないので、基準振動は平面波に決まる

運動方程式

式 (2.4.1) の $L$ で $u_j$ が現れるのは、運動エネルギーの $\frac12m\dot u_j^2$ と、ばね $(j-1,j)$ と $(j,j+1)$ の2本の項である。

$$\frac{\partial L}{\partial \dot u_j}=m\dot u_j,\qquad \frac{\partial L}{\partial u_j}=-K(u_j-u_{j-1})+K(u_{j+1}-u_j)$$

なので、Euler–Lagrange 方程式は

$$m\ddot u_j=K(u_{j+1}+u_{j-1}-2u_j)\qquad(j=0,\dots,N-1)\tag{2.4.3}$$

になる。右辺は「右のばねが右へ引く力 $K(u_{j+1}-u_j)$」と「左のばねが左へ引く力 $-K(u_j-u_{j-1})$」の和で、Newton の運動方程式をそのまま書いたものと同じである。$N$ 本の2階の常微分方程式が、隣どうしだけを通じてつながっている。

小振動の方法

第2部第1章で示したとおり、$L$ が速度の2次形式と座標の2次形式の差

$$L=\frac12m\sum_j\dot u_j^2-\frac12\sum_{j,j'}\Phi_{jj'}u_ju_{j'}\tag{2.4.4}$$

で書けるとき、運動は対称行列 $\Phi$（力の定数行列）の固有ベクトルの向きに分かれ、各向きは固有値 $m\omega^2$ の単振動になる。原子の列では、式 (2.4.1) の位置エネルギーを展開すると

$$\Phi_{jj}=2K,\qquad \Phi_{j,j\pm1}=-K,\qquad \text{ほかは }0\qquad(\text{添字は }N\text{ を法として数える})\tag{2.4.5}$$

である。$N$ 行 $N$ 列の行列の固有値問題を解けばよいが、$N$ が大きいと手で解くことはできない。ところが、この行列には対称性があり、それを使うと固有ベクトルが計算せずに分かる。

番号をずらしても同じ

原子の番号を1つずらす操作 $u_j\to u_{j+1}$ を考える。周期境界条件のもとでは、これは $N$ 個のずれの並べ替えにすぎず、式 (2.4.1) の運動エネルギーの和もばねの和も、足す順番が変わるだけで値は変わらない。行列で書くと、ずらしの行列 $(R)_{jj'}=\delta_{j',j+1}$ は力の定数行列と交換し、$R\Phi=\Phi R$ が成り立つ。交換する2つの行列は、共通の固有ベクトルを持つように選べる。$R$ は $N$ 回かけると恒等行列に戻るので、固有値は $1$ の $N$ 乗根 $\mathrm{e}^{\mathrm{i} ka}$ で、

$$k=\frac{2\pi l}{Na}\qquad(l=0,1,\dots,N-1)\tag{2.4.6}$$

である。固有値 $\mathrm{e}^{\mathrm{i} ka}$ の固有ベクトルは「番号を1つ進めると $\mathrm{e}^{\mathrm{i} ka}$ 倍になる」ベクトル、つまり平面波 $u_j\propto\mathrm{e}^{\mathrm{i} kja}$ である。したがって力の定数行列の固有ベクトルも平面波で、残る仕事は固有値（$\omega^2$）を求めることだけになる。