出てくるもの1：分散関係と Brillouin 域

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第2部 第4章 §2.4.3　★★★ 平面波を入れると $\omega=2\sqrt{K/m}\,\lvert \sin(ka/2)\rvert$。長い波長では音波 $\omega=vk$、波数は $2\pi/a$ の幅の中だけで意味を持つ

分散関係

前の節の結論から、運動方程式 (2.4.3) の解を $u_j(t)=A\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(kja-\omega t)}$ の形で探す（実際の変位はこの実部）。代入すると

$$-m\omega^2\,u_j=K\bigl(\mathrm{e}^{\mathrm{i} ka}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i} ka}-2\bigr)u_j=-4K\sin^2\frac{ka}{2}\,u_j$$

で、$j$ によらない条件

$$\omega(k)=2\sqrt{\frac Km}\,\Bigl|\sin\frac{ka}{2}\Bigr|\tag{2.4.7}$$

が出る。角振動数と波数の関係を分散関係と呼ぶ。式 (2.4.6) の $N$ 個の $k$ のそれぞれに $\omega(k)$ が1つ決まり、それが $N$ 個の基準振動である。

長い波長：音波

$\lvert ka\rvert \ll1$ では $\sin(ka/2)\approx ka/2$ なので

$$\omega\approx v\lvert k\rvert ,\qquad v=a\sqrt{\frac Km}\tag{2.4.8}$$

になる。$\omega$ が $k$ に比例する波は、どの波長でも同じ速さ $v$ で進む。これが固体の中の音波で、$v$ が音速である。波長が格子定数よりずっと長い波にとって、原子の粒々は見えず、列は一様な弾性体として振る舞う。第5節ではこの見方を極限として正確に書く。

短い波長：Brillouin 域

式 (2.4.6) の $k$ を $2\pi/a$ だけずらしても、原子のいる点 $x_j=ja$ での平面波の値 $\mathrm{e}^{\mathrm{i} kja}$ は変わらない。原子のいない点での値は変わるが、原子の列の運動には原子のいる点の値しか現れない。したがって $k$ は $-\pi/a<k\le\pi/a$ の幅 $2\pi/a$ の中だけを考えれば十分で、この範囲を（1次元の）Brillouin 域と呼ぶ。式 (2.4.6) の $N$ 個の $k$ をこの範囲に移すと、ちょうど $N$ 個の基準振動が Brillouin 域に等間隔で並ぶ。自由度の数とモードの数は一致する。

波が運ぶエネルギーの速さは、位相の進む速さ $\omega/k$（位相速度）ではなく、少しずつ違う $k$ の波を重ねた波束の進む速さ

$$v_{\mathrm g}=\frac{\mathrm{d} \omega}{\mathrm{d} k}=a\sqrt{\frac Km}\cos\frac{ka}{2}\qquad(0<k<\pi/a)\tag{2.4.9}$$

（群速度）である。境界 $k=\pi/a$ では $v_{\mathrm g}=0$ になる。このとき $u_j\propto(-1)^j$ で、右へ進む波と左へ進む波が区別できず、定在波になっている。