出てくるもの2：3次元の結晶の縦波・横波と $3r$ 本の枝

ハミルトニアンの選び方で固体を考える　第3部 第1章 §3.1.3　★★★ 3次元では振れる向きが3つあり、縦波（L）と横波（T）、音響（A）と光学（O）の組で LA・TA・LO・TO の枝ができる

枝の名前

3次元では、各 $\bm{k}$ の $3r$ 個の固有ベクトル $e^\alpha_\kappa$ が、原子の振れる向きを決める。結晶の対称性の高い方向（立方晶の $[100]$ など）に $\bm{k}$ を取ると、固有ベクトルは振れる向きが $\bm{k}$ と平行な縦波（longitudinal、L）と、垂直な横波（transverse、T）にきれいに分かれる。横波は振れる向きを2つ選べるので2本ある。音響の枝3本は LA 1本と TA 2本、光学の枝 $3r-3$ 本は LO と TO の組に分かれる。単位胞に原子が2個の Si・GaAs・NaCl などでは、LA・TA・TA・LO・TO・TO の6本になる。対称性の高い方向では2本の TA が同じ振動数を持つ（縮退する）ことが多い。

中心力のばねで組んだ単純立方格子

単位胞に原子が1個（$r=1$）の結晶で、2つの原子を結ぶ方向にだけ力が働くばね（中心力のばね）を考える。釣り合いでばねが伸びも縮みもしていないとき、変位の1次までで伸びは $\hat{\bm{R}}_n\cdot(\bm{u}_{l+n}-\bm{u}_l)$（$\hat{\bm{R}}_n$ はばねの向きの単位ベクトル）なので、ばね1本のエネルギーは $\frac12K_n[\hat{\bm{R}}_n\cdot(\bm{u}_{l+n}-\bm{u}_l)]^2$ である。これを式 (3.1.6) に持ち込むと、動的行列は

$$\mathsf D^{\alpha\beta}(\bm{k})=\frac1M\sum_n K_n\bigl(1-\cos\bm{k}\cdot\bm{R}_n\bigr)\hat R_n^\alpha\hat R_n^\beta\tag{3.1.10}$$

になる（和は原子1つから見たすべてのばねの相手 $n$ について取る）。1次元の列では $\hat R=\pm1$ の2本だけが残り、$\mathsf D=(2K/M)(1-\cos ka)=(4K/M)\sin^2(ka/2)$ と式 (3.1.2) に戻る。$\bm{k}=0$ で $\mathsf D=0$ になることも、式 (3.1.4) のとおりである。

格子定数 $a$ の単純立方格子で、最近接の6本にばね定数 $K_1$、第2近接（面の対角線の向き、長さ $\sqrt2a$）の12本に $K_2$ を置く。$\bm{k}=(k,0,0)$ では、最近接のうち $\pm x$ の2本だけが $\cos\bm{k}\cdot\bm{R}_n\ne1$ で、$xx$ 成分に $2K_1(1-\cos ka)$ を与える。第2近接のうち $x$ 成分を持つ8本は、$\hat R^x\hat R^x=\frac12$ で $xx$ 成分に $4K_2(1-\cos ka)$、$\hat R^y\hat R^y=\frac12$ の4本が $yy$ 成分に $2K_2(1-\cos ka)$ を与え、$zz$ も同じである。非対角成分は符号の違う相手どうしで打ち消す。したがって

$$M\omega_{\mathrm L}^2=(4K_1+8K_2)\sin^2\frac{ka}{2},\qquad M\omega_{\mathrm T}^2=4K_2\sin^2\frac{ka}{2}\quad(\text{2本})\tag{3.1.11}$$

である。注目すべきは横波で、$K_2=0$ なら $\omega_{\mathrm T}=0$ になる。最近接の中心力のばねは $x$ 方向に並んだ原子が $y$ 方向に互いにずれても伸びないので（伸びは変位の2次）、単純立方格子は最近接のばねだけではずれ（せん断）に抗する力を持たない。横波を伝えるには斜めのばねが要る。

長波長の極限と弾性定数

$k\to0$ で式 (3.1.11) は $\omega_{\mathrm L}=v_{\mathrm L}k$、$\omega_{\mathrm T}=v_{\mathrm T}k$ になり、$v_{\mathrm L}=a\sqrt{(K_1+2K_2)/M}$、$v_{\mathrm T}=a\sqrt{K_2/M}$ である。連続体の弾性論では、立方晶の $[100]$ 方向の縦波と横波の音速は、密度 $\rho$ と弾性定数 $C_{11}$・$C_{44}$ を使って

$$v_{\mathrm L}=\sqrt{\frac{C_{11}}{\rho}},\qquad v_{\mathrm T}=\sqrt{\frac{C_{44}}{\rho}}\tag{3.1.12}$$

と書ける。$\rho=M/a^3$ とおいて比べると $C_{11}=(K_1+2K_2)/a$、$C_{44}=K_2/a$ である。同じ模型で $[110]$ 方向の縦波（$\rho v^2=(C_{11}+C_{12}+2C_{44})/2$）を計算すると $C_{12}=K_2/a$ になり、$C_{12}=C_{44}$ が成り立つ。この等式をCauchy の関係と呼ぶ。原子どうしの力が2体の中心力だけで、各原子が反転対称の中心にある結晶では、ばねの定数の値によらず成り立つ。実在の結晶が Cauchy の関係からずれていれば、それは2体の中心力の描像で削ったもの（3体の力・角度に依存する結合・伝導電子の圧力）の大きさを測っている（3.1.5 節）。