出てくるもの3：モードを振動数ごとに数える（フォノンの状態密度）

ハミルトニアンの選び方で固体を考える　第3部 第1章 §3.1.4　★★ 熱の量はすべて振動数の分布 $g(\omega)$ で決まる。Brillouin 域の端の平らな所で $g$ は特異になり、低い振動数では音響の枝が $g\propto\omega^{d-1}$ を与える

量子化とフォノン

基準座標に分けた $L$ は独立な調和振動子の和なので、量子化すると $\hat H=\sum_{s,\bm{k}}\hbar\omega_s(\bm{k})\bigl(\hat n_{s\bm{k}}+\frac12\bigr)$ になる。振動子の段の数 $n_{s\bm{k}}$ を「振動数 $\omega_s(\bm{k})$・結晶運動量 $\hbar\bm{k}$ の粒子の数」と読んだものがフォノンで、この手順と、光子と同じ形で熱の量を数えることは解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第5部第3章で示した。そこでの結論は、比熱などの熱の量がすべて

$$U(T)=\int_0^\infty g(\omega)\,\hbar\omega\Bigl(n_{\mathrm B}(\omega)+\frac12\Bigr)\mathrm{d}\omega\tag{3.1.13}$$

の形の積分で書けることである。ここで $n_{\mathrm B}(\omega)=1/(\mathrm{e}^{\beta\hbar\omega}-1)$ は Planck 分布、$g(\omega)$ は振動数が $\omega$ と $\omega+\mathrm{d}\omega$ の間にあるモードの数を $\mathrm{d}\omega$ で割ったもの

$$g(\omega)=\sum_s\sum_{\bm{k}\in\mathrm{BZ}}\delta\bigl(\omega-\omega_s(\bm{k})\bigr)\tag{3.1.14}$$

である。これをフォノンの状態密度と呼ぶ（電子の状態密度 $D(\varepsilon )$ と区別するため $g$ と書く）。$\int g\,\mathrm{d}\omega=3rN$ が成り立つ。模型の情報は分散 $\omega_s(\bm{k})$ を通して $g(\omega)$ にだけ入り、温度の情報は Planck 分布にだけ入る。次の章の比熱は、この分業の上で計算する。

1次元の列の状態密度

1原子の列（$N$ 個、周期境界）では、$k$ は Brillouin 域に間隔 $2\pi/(Na)$ で $N$ 個並ぶので、$k$ の幅 $\mathrm{d} k$ あたり $Na\,\mathrm{d} k/(2\pi)$ 個のモードがある。$\omega$ と $\omega+\mathrm{d}\omega$ の間に入る $k$ は正と負の2か所にあり、そこで $\mathrm{d}\omega/\mathrm{d} k=(a\omega_{\mathrm m}/2)\cos(ka/2)=(a/2)\sqrt{\omega_{\mathrm m}^2-\omega^2}$（$\omega_{\mathrm m}=2\sqrt{K/M}$）なので、

$$g(\omega)=2\times\frac{Na}{2\pi}\times\frac{2}{a\sqrt{\omega_{\mathrm m}^2-\omega^2}}=\frac{2N}{\pi}\frac{1}{\sqrt{\omega_{\mathrm m}^2-\omega^2}}\qquad(0\le\omega<\omega_{\mathrm m})\tag{3.1.15}$$

を得る。$\int_0^{\omega_{\mathrm m}}g\,\mathrm{d}\omega=(2N/\pi)(\pi/2)=N$ で、モードの数は $N$ に戻る。$\omega\to\omega_{\mathrm m}$ で $g$ は $1/\sqrt{\omega_{\mathrm m}-\omega}$ のように発散する。群速度が $0$ になる点では、$\omega$ が少し変わる間に多くの $k$ が通り過ぎるので、モードが振動数の軸の上で密に詰まる。これを van Hove 特異点と呼ぶ。電子のバンドでも同じことが起き、その話は 第2部第6章で扱う。

3次元でも群速度 $\nabla_{\bm{k}}\omega_s$ が $0$ になる点で $g$ は特異になるが、積分する方向が増えるので発散はせず、$g$ の傾きが跳ぶ折れ目になる。低い振動数では3本の音響の枝 $\omega\approx v\lvert \bm{k}\rvert$ だけが寄与し、半径 $\omega/v$ の球の表面の面積に比例して $g\propto\omega^2$ になる（$d$ 次元なら $\omega^{d-1}$）。この低い振動数の部分を全部の振動数へ延ばし、モードの総数が $3rN$ になる所で切ったものが Debye の模型で、低温の比熱の $T^3$ 則はそこから出る（解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第5部第3章）。2原子の列では、図 3.1.2 のギャップの帯に $g=0$ の空白ができ、その両端にも van Hove 特異点が立つ。

図 3.1.3　1原子の列の状態密度。点線は厳密な式 (3.1.15) で、$\omega\to\omega_{\mathrm m}$ で発散する（van Hove 特異点）。実線は長波長の $\omega=v\lvert k\rvert$ を全部の $k$ に延ばし、モードの数が $N$ になる $\omega_{\mathrm D}=\pi\omega_{\mathrm m}/2$ で切った Debye の近似で、$\omega\to0$ でだけ厳密な値と一致する。