この章で選ぶ $H$：Brillouin 域の上に並べたバンド

ハミルトニアンの選び方で固体を考える　第2部 第6章 §2.6.1　★★★ Bloch の定理で $\varepsilon _n(\bm{k}+\bm{G})=\varepsilon _n(\bm{k})$ が分かっているので、バンドは Brillouin 域の上の関数として並べればよい。並べ方（還元域・拡張域・周期域）と、高次の Brillouin 域を定義する

前の3章で、周期ポテンシャルの中の1電子の準位は、バンドの番号 $n$ と Brillouin 域の中の波数 $\bm{k}$ の組 $(n,\bm{k})$ で数えられることを見た（第2部第3章の原子の輪、第2部第4章の Bloch の定理、第2部第5章のほぼ自由な電子）。この章で選ぶ $H$ は新しいものではなく、それらの章の1電子の $H$ である。新しいのは、その固有値の並べ方と数え方である。

実験で測る量の多くは、どの $\bm{k}$ にどの準位があるかを直接は見ない。比熱や Pauli 磁化率は、Fermi 準位の近くにエネルギーあたり何個の準位があるかだけで決まり、トンネル電流や光吸収も、多くの場合エネルギーあたりの準位の数を見ている。そこで、$\bm{k}$ の上の関数 $\varepsilon _n(\bm{k})$ を、エネルギーの上の関数（状態密度 $D(\varepsilon )$）に直す道具が要る。この章ではその道具を作り、3つの結果を出す。1つめに、帯の底の近くの状態密度は、空間の次元 $d$ だけで形が決まる（$d=3$ で $\sqrt{\varepsilon }$、$d=2$ で一定、$d=1$ で $1/\sqrt{\varepsilon }$）。2つめに、$\varepsilon _n(\bm{k})$ の勾配が $0$ になる点（臨界点）で状態密度は特異的になり（van Hove 特異点）、その形は臨界点の種類と次元で決まる。3つめに、Brillouin 域が閉じた領域（$d$ 次元のトーラス）であることから、臨界点は必ず決まった数以上あり、とくに $d\ge2$ では鞍点を避けることができない。

この章の数値例は、最近接だけを残した tight-binding の正方格子と単純立方格子で行う。最後の2節で、この数え方が何を削っているかと、どの実験の量で状態密度を確かめるかを書く。

選ぶ $H$ と、前の章から持ってくる結果

この章で扱う $H$ は、周期ポテンシャルの中の1電子の

$$\hat H=\frac{\hat{\bm{p}}^2}{2m}+V(\hat{\bm{r}}),\qquad V(\bm{r}+\bm{R})=V(\bm{r})\tag{2.6.1}$$

と、その原子軌道1個ずつの部分空間への射影である tight-binding の $H$ である。どちらについても、前の章で次のことが分かっている。固有状態は Bloch 関数 $\psi_{n\bm{k}}(\bm{r})=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\bm{k}\cdot\bm{r}}u_{n\bm{k}}(\bm{r})$（$u_{n\bm{k}}$ は格子周期）に選べ、波数 $\bm{k}$ は逆格子ベクトル $\bm{G}$ だけずらしても同じ状態を表す。したがって固有値は

$$\varepsilon _n(\bm{k}+\bm{G})=\varepsilon _n(\bm{k})\tag{2.6.2}$$

を満たす（第2部第4章）。結晶が $N$ 個の基本単位胞からなり周期境界条件を課すと、区別できる $\bm{k}$ は第1 Brillouin 域の中にちょうど $N$ 個ある（第1部第2章）。1本のバンドには $N$ 個の $\bm{k}$ があり、スピンの向き2つを入れて $2N$ 個の電子が入る。

還元域・拡張域・周期域

式 (2.6.2) から、$\varepsilon _n(\bm{k})$ の情報はすべて第1 Brillouin 域の中にある。すべてのバンドを第1 Brillouin 域の中に重ねて描く描き方を還元域形式と呼ぶ。一方、ポテンシャルが弱い極限では、準位は自由電子の放物線 $\hbar^2\lvert \bm{k}\rvert ^2/2m$ に近い（第2部第5章）。この放物線を $\bm{k}$ の全空間に1本で描き、$n$ 番目のバンドを $n$ 番目の Brillouin 域に置く描き方を拡張域形式と呼ぶ。さらに、還元域の図を逆格子ベクトルの分だけずらして全空間に繰り返した描き方を周期域形式と呼ぶ。3つは同じ情報の違う描き方で、どれを使うかは見たいものによって決める。バンドの数え方と状態密度には還元域、ほぼ自由な電子のギャップの位置を読むには拡張域、等エネルギー面が Brillouin 域の境界をまたいでつながる様子を見るには周期域が向いている。

拡張域形式を一般の格子で使うには、高次の Brillouin 域を定義しておく必要がある。

$n=1$ の場合は、原点より近い逆格子点が無い点の全体なので、前の章の第1 Brillouin 域（逆格子の原点の Wigner–Seitz 胞）と一致する。

証明

第1 Brillouin 域の内部の点 $\bm{q}$ を1つ取る。$\bm{q}$ から逆格子点までの距離 $\lvert \bm{q}-\bm{G}'\rvert$ を小さい順に並べる（$\bm{q}$ が境界に無ければ等しい距離は無い）。点 $\bm{q}+\bm{G}$ が第何域にあるかは、$\bm{q}+\bm{G}$ にとって原点が何番目に近い逆格子点かで決まる。$\bm{q}+\bm{G}$ から逆格子点 $\bm{G}''$ までの距離は$\lvert \bm{q}+\bm{G}-\bm{G}''\rvert =\lvert \bm{q}-(\bm{G}''-\bm{G})\rvert$ なので、原点（$\bm{G}''=\bm{0}$）の順位は、$\bm{q}$ から見た逆格子点 $-\bm{G}$ の順位に等しい。$\bm{G}$ が逆格子全体を動くと $-\bm{G}$ も逆格子全体を1回ずつ動くので、順位 $1,2,3,\dots$ がちょうど1回ずつ現れる。すなわち、各 $n$ について $\bm{q}+\bm{G}$ が第 $n$ 域に入る $\bm{G}$ がちょうど1つある。これが主張である。

この命題は、拡張域形式の $n$ 番目の放物線の一片を逆格子ベクトルでずらして集めると、還元域形式の第 $n$ バンドがちょうど1本できることを保証する。ポテンシャルが $0$ の極限（空格子）では、還元域の準位は

$$\varepsilon (\bm{k})=\frac{\hbar^2\lvert \bm{k}+\bm{G}\rvert ^2}{2m}\qquad(\bm{k}\text{ は第1 Brillouin 域}、\ \bm{G}\text{ は逆格子全体})\tag{2.6.3}$$

の全体で、これを小さい順に並べたものが $\varepsilon _1(\bm{k})\le\varepsilon _2(\bm{k})\le\cdots$ になる。図 2.6.1 に1次元の場合を示す。

この章の数値例：最近接 tight-binding の正方格子と単純立方格子

数値例には、格子定数 $a$ の正方格子（$d=2$）と単純立方格子（$d=3$）の格子点に原子軌道を1個ずつ置き、最近接の格子点の間のホッピング $t>0$ だけを残した $H$ を使う。第2部第3章の輪と同じく、格子点 $\bm{R}$ に局在した状態を $| \bm{R} \rangle$ と書き、平面波の重ね合わせ$| \bm{k} \rangle =N^{-1/2}\sum_{\bm{R}}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\bm{k}\cdot\bm{R}}| \bm{R} \rangle$ を作ると、最近接の格子点へのベクトル $\bm{\delta}$ についての和として$\hat H| \bm{k} \rangle =\bigl(\varepsilon _{\mathrm a}-t\sum_{\bm{\delta}}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\bm{k}\cdot\bm{\delta}}\bigr)| \bm{k} \rangle$ となる。$\bm{\delta}=\pm a\bm{e}_x,\pm a\bm{e}_y(,\pm a\bm{e}_z)$ を入れると

$$\varepsilon (\bm{k})=\varepsilon _{\mathrm a}-2t\sum_{i=1}^{d}\cos k_ia\tag{2.6.4}$$

を得る。輪の $\varepsilon _{\mathrm a}-2t\cos ka$ を各方向について足したものである。帯の幅は $4dt$（正方格子で $8t$、単純立方格子で $12t$）である。この章の数値例では $\varepsilon _{\mathrm a}=0$ とおき、エネルギーを $t$ で測る。