この章のまとめ

(1) Fourier 成分は $V_G=\alpha/a=(2g/\pi^2)\varepsilon _{\mathrm X}<0$ で、ギャップは $2\lvert V_G\rvert =(4\lvert g\rvert /\pi^2)\varepsilon _{\mathrm X}=0.203\varepsilon _{\mathrm X}$ である。$V_G<0$ なので、第2節の議論から、δ 関数（引力）の上に密度の山を持つ $\cos(\pi x/a)$ 型が下の端、節を持つ $\sin(\pi x/a)$ 型が上の端である。$\sin$ 型は δ 関数を感じないので、上の端は厳密に $\varepsilon _{\mathrm X}$ に留まる（例題 2.5.4 (3) と同じ理由）。厳密なギャップは引力で $0.213$、斥力で $0.193$ で、NFE の $0.203$ をはさんでほぼ対称に $\pm0.01$ ずれる。$g$ の1次では符号によらず同じで、ずれは $g$ の2次の補正である。

(2) 式 (2.5.16) は $q$ について解析的なので、$q=\mathrm{i} p$ を代入してよい。$\cos(\mathrm{i} pa)=\cosh pa$、$\sin(\mathrm{i} pa)/(\mathrm{i} pa)=\sinh(pa)/(pa)$ から

$$\cos ka=\cosh pa+g\,\frac{\sinh pa}{pa}$$

である。$g<0$ なら右辺の第2項が負になり、右辺が $[-1,1]$ に入る $p$ が存在しうる。

(3) $x\neq0$ では $\psi''=p^2\psi$ で、遠くで $0$ になる解は $\psi=\mathrm{e}^{-p\lvert x\rvert }$ である。導関数の跳び $\psi'(0^+)-\psi'(0^-)=-2p=\frac{2m\alpha}{\hbar^2}\psi(0)=\frac{2m\alpha}{\hbar^2}$ から $p=-m\alpha/\hbar^2=m\lvert \alpha\rvert /\hbar^2=\kappa$ で、

$$\varepsilon _{\mathrm b}=-\frac{\hbar^2\kappa^2}{2m}=-\frac{\hbar^2}{2ma^2}(\kappa a)^2=-\frac{\hbar^2g^2}{2ma^2}=-\frac{g^2}{\pi^2}\varepsilon _{\mathrm X}$$

である（$\kappa a=\lvert g\rvert$）。束縛状態の広がりは $1/\kappa=a/\lvert g\rvert$ で、$\lvert g\rvert \gg1$ なら隣の δ 関数までの距離 $a$ より十分短い。

(4) $x\coloneqq pa$、$f(x)\coloneqq\cosh x-\lvert g\rvert \,\frac{\sinh x}{x}$ とおくと、条件は $f(x)=\cos ka$ である。$x=\lvert g\rvert$ では $f=\cosh\lvert g\rvert -\sinh\lvert g\rvert =\mathrm{e}^{-\lvert g\rvert }$ で、ほぼ $0$ である。$f'(x)=\sinh x-\lvert g\rvert \frac{\cosh x}{x}+\lvert g\rvert \frac{\sinh x}{x^2}$ は $x=\lvert g\rvert$ で $\sinh\lvert g\rvert -\cosh\lvert g\rvert +\frac{\sinh\lvert g\rvert }{\lvert g\rvert }\approx\frac{\mathrm{e}^{\lvert g\rvert }}{2\lvert g\rvert }$（$\lvert g\rvert \gg1$）なので、$x=\lvert g\rvert +\delta$ と書くと

$$\mathrm{e}^{-\lvert g\rvert }+\frac{\mathrm{e}^{\lvert g\rvert }}{2\lvert g\rvert }\delta=\cos ka\quad\Longrightarrow\quad\delta=2\lvert g\rvert \,\mathrm{e}^{-\lvert g\rvert }\bigl(\cos ka-\mathrm{e}^{-\lvert g\rvert }\bigr)$$

である。エネルギーは $\varepsilon =-\frac{\hbar^2x^2}{2ma^2}\approx-\frac{\hbar^2}{2ma^2}(g^2+2\lvert g\rvert \delta)=\varepsilon _{\mathrm b}-\frac{2\lvert \varepsilon _{\mathrm b}\rvert }{\lvert g\rvert }\delta$ なので

$$\varepsilon (k)\approx\underbrace{\varepsilon _{\mathrm b}+4\lvert \varepsilon _{\mathrm b}\rvert \mathrm{e}^{-2\lvert g\rvert }}_{\varepsilon _{\mathrm a}}-2\cdot\underbrace{2\lvert \varepsilon _{\mathrm b}\rvert \mathrm{e}^{-\lvert g\rvert }}_{t}\cos ka$$

となる。$\lvert g\rvert =\kappa a$ なので $t=2\lvert \varepsilon _{\mathrm b}\rvert \mathrm{e}^{-\kappa a}$ である。これは第2部第3章の tight-binding の帯 $\varepsilon _{\mathrm a}-2t\cos ka$ と同じ形で、ホッピング $t$ は束縛状態の裾 $\mathrm{e}^{-\kappa\lvert x\rvert }$ が隣の原子まで届く分 $\mathrm{e}^{-\kappa a}$ に比例する。原子1個の準位 $\varepsilon _{\mathrm b}$ が、隣へのトンネルで幅 $4t$ の帯に広がる、という tight-binding の描像が、同じ δ 関数の列の強い端として出てきた。(1) の弱い端の NFE と合わせて、1本の模型の両端が2つの描像になっている。

(5) $\varepsilon _{\mathrm b}=-25/\pi^2\,\varepsilon _{\mathrm X}=-2.533\varepsilon _{\mathrm X}$、$t=2\times2.533\times\mathrm{e}^{-5}\varepsilon _{\mathrm X}=0.0341\varepsilon _{\mathrm X}$、$4t=0.137\varepsilon _{\mathrm X}$ である。厳密な帯の幅は $-2.461-(-2.598)=0.137\varepsilon _{\mathrm X}$（4桁目まで見ると $0.1372$ と $0.1365$ で差は 0.5%）で一致し、帯の中心 $-2.529\varepsilon _{\mathrm X}$ は $\varepsilon _{\mathrm b}$ のすぐ上にある。$k=0$ の方が低いのは $t>0$ だからで、引力の井戸の束縛状態は同じ符号でつながる方（結合性）がエネルギーが低い、という第2部第1章の結合軌道の結果と同じである。