授業で習った形との対応

ハミルトニアンの選び方で固体を考える　第2部 第5章 §2.5.6　★ 授業の中心方程式・2波の近似・Kronig–Penney の式とこの章の式は、記号の付け方と、障壁の幅を有限に残すかどうかだけが違う

学部の固体物理の授業では、ほぼ自由な電子の模型を次の形で習うことが多い。

中心方程式。授業ではポテンシャルの Fourier 成分を $U_G$、自由電子のエネルギーを $\lambda_k=\hbar^2k^2/(2m)$ と書き、

$$(\lambda_k-\varepsilon )C(k)+\sum_GU_G\,C(k-G)=0$$

を中心方程式と呼ぶ。これは式 (2.5.6) で $G=0$ と置いた行で、係数の名前 $C(k-G)$ が $c_{k-G}$ に、$U_G$ が $V_G$ に当たる（$V_0$ を $0$ とおく所も同じ）。授業の形では、他の行は「$k$ を $k-G$ に置き換えた同じ式」として暗に含まれている。

2波の近似とギャップ。授業では Brillouin 域の境界の近くで $C(k)$ と $C(k-G)$ だけを残して行列式を $0$ とおき、

$$\begin{vmatrix}\lambda_k-\varepsilon &U\\ U&\lambda_{k-G}-\varepsilon \end{vmatrix}=0,\qquad \varepsilon =\frac{\lambda_k+\lambda_{k-G}}{2}\pm\sqrt{\Bigl(\frac{\lambda_k-\lambda_{k-G}}{2}\Bigr)^2+U^2}$$

を得る。$U$ を実数とすればこの章の式 (2.5.10) と同じで、境界のギャップ $\varepsilon _{\mathrm g}=2\lvert U\rvert$ と2つの定在波 $\psi(\pm)$ の形も同じである。授業では「どちらの定在波が下か」を電荷密度の図で説明することが多い。この章ではそれを $\langle V \rangle _{\mathrm c}=V_G$ という1行の平均で確かめた。

Kronig–Penney の式。授業では、幅 $w$ の井戸（$V=0$）と幅 $b$・高さ $V_{\mathrm b}$ の障壁を交互に並べた周期 $a=w+b$ のポテンシャルを使い、$\varepsilon <V_{\mathrm b}$ で

$$\cos ka=\cos qw\cosh\kappa b+\frac{\kappa^2-q^2}{2q\kappa}\sin qw\sinh\kappa b,\qquad \varepsilon =\frac{\hbar^2q^2}{2m}=V_{\mathrm b}-\frac{\hbar^2\kappa^2}{2m}\tag{2.5.20}$$

を導く（記号 $V_{\mathrm b}$・$w$ は記法の正本に無い。障壁の高さをポテンシャル $V(x)$ と分けるため）。そのあと、$b\to0$・$V_{\mathrm b}\to\infty$ で積 $V_{\mathrm b}b$ を一定に保つ極限を取り、

$$\frac{P}{qa}\sin qa+\cos qa=\cos ka,\qquad P=\frac{m V_{\mathrm b}b\,a}{\hbar^2}$$

の形にする。$V_{\mathrm b}b$ は障壁の「面積」で、δ 関数の強さ $\alpha$ に当たるので、$P$ はこの章の $g$ (2.5.15) そのもの、式は (2.5.16) と同じになる。この章では極限を先に取って δ 関数から出発した。授業の形では、右辺を $qa$ の関数として描き、$\lvert \text{右辺}\rvert \le1$ の範囲を帯として図で読むことが多い。この章の図 2.5.2 は、その範囲を $k$ について解いて描いたものである。