出てくるもの1：2原子の列の音響モードと光学モード

ハミルトニアンの選び方で固体を考える　第3部 第1章 §3.1.2　★★★ 単位胞に原子が2個あると、同じ向きに振れる音響の枝と逆向きに振れる光学の枝ができ、Brillouin 域の端で振動数のギャップが開く

動的行列と分散関係

単位胞の長さを $a$ とし、その中に質量 $M_1$ の原子と $M_2$ の原子を $a/2$ ずつ離して交互に並べる。ばねはすべて同じばね定数 $K$ とし、$M_1<M_2$ とする。単位胞 $l$ の軽い原子のずれを $u_l$、重い原子のずれを $w_l$ とすると、軽い原子 $l$ は重い原子 $l-1$ と $l$ にはさまれ、重い原子 $l$ は軽い原子 $l$ と $l+1$ にはさまれるので、運動方程式は

$$M_1\ddot u_l=K(w_l+w_{l-1}-2u_l),\qquad M_2\ddot w_l=K(u_{l+1}+u_l-2w_l)\tag{3.1.7}$$

である。式 (3.1.5) の形 $u_l=e_1\mathrm{e}^{\mathrm{i}(kla-\omega t)}/\sqrt{M_1}$、$w_l=e_2\mathrm{e}^{\mathrm{i}(kla-\omega t)}/\sqrt{M_2}$ を入れると、動的行列は $2\times2$ の

$$\mathsf D(k)=\begin{pmatrix}\dfrac{2K}{M_1}&-\dfrac{K(1+\mathrm{e}^{-\mathrm{i} ka})}{\sqrt{M_1M_2}}\\[2ex]-\dfrac{K(1+\mathrm{e}^{\mathrm{i} ka})}{\sqrt{M_1M_2}}&\dfrac{2K}{M_2}\end{pmatrix}\tag{3.1.8}$$

になる。跡は $2K(1/M_1+1/M_2)$、行列式は $\lvert 1+\mathrm{e}^{\mathrm{i} ka}\rvert ^2=4\cos^2(ka/2)$ を使って $4K^2\sin^2(ka/2)/(M_1M_2)$ となるので、固有値は

$$\omega_\pm^2(k)=K\Bigl(\frac{1}{M_1}+\frac{1}{M_2}\Bigr)\pm K\sqrt{\Bigl(\frac{1}{M_1}+\frac{1}{M_2}\Bigr)^2-\frac{4\sin^2(ka/2)}{M_1M_2}}\tag{3.1.9}$$

である。下の枝 $\omega_-$ が音響の枝、上の枝 $\omega_+$ が光学の枝で、図 3.1.2 に $M_2=2M_1$ の場合を描いた。

2本の枝の振れ方

$k=0$ では $\mathsf D(0)$ の固有値が $0$ と $2K(1/M_1+1/M_2)$ になる。$\omega=0$ の固有ベクトルは $u_l=w_l$ で、列全体の一様な並進である（式 (3.1.4) の帰結）。もう1つの固有ベクトルは $M_1u_l+M_2w_l=0$ を満たし、単位胞の重心を止めたまま2つの原子が逆向きに振れる。イオン結晶で2つの原子が逆符号の電荷を持っていれば、この振動は単位胞に振動する電気双極子を作るので、同じ振動数の光（赤外線）と結合する。光学モードという名前はこのことによる。

長波長の音響の枝は $\omega_-\approx vk$、$v=a\sqrt{K/(2(M_1+M_2))}$ である。長さ $a$ あたりの質量が $M_1+M_2$、長さ $a$ の中にばねが2本直列に入って合成のばね定数が $K/2$ の弦と同じ音速で、長波長の音は単位胞の中の構造を見ない。

Brillouin 域の端 $k=\pi/a$ では $1+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi}=0$ なので $\mathsf D$ は対角になり、固有値は $2K/M_2$（音響の枝の上端）と $2K/M_1$（光学の枝の下端）である。音響の枝の上端では重い原子だけが振れて軽い原子は止まり、光学の枝の下端では軽い原子だけが振れて重い原子は止まる。2つの振動数の間 $\sqrt{2K/M_2}<\omega<\sqrt{2K/M_1}$ には、どの $k$ にもモードが無い。これが格子振動のギャップである。端 $k=\pi/a$ は、波長 $2a$ の波が隣の単位胞で符号を変える点で、電子の波が同じ条件でギャップを開くのが 第2部第5章の Bragg 反射である。ギャップの幅は2つの質量の差で決まり、$M_1=M_2$ なら閉じる（例題 3.1.2）。

図 3.1.2　2原子の列（$M_2=2M_1$、ばねはすべて $K$）の分散関係 (3.1.9)。灰色の帯 $1<\omega/\sqrt{K/M_1}<\sqrt2$ にはモードが無い。原点での音響の枝の傾きは音速 $v=a\sqrt{K/(6M_1)}$ に当たる。