この章で選ぶ $H$：独立な調和振動子の集まり

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第5部 第3章 §5.3.1　★★★ 電磁場も格子振動も基準振動に分けると $\hat H=\sum_\alpha\hbar\omega_\alpha(\hat a_\alpha^\dagger\hat a_\alpha+\frac12)$ になる。違いはモードの数え方と分散関係 $\omega_\alpha$ だけ

この章では、性質の違う2つの物理系に同じ Hamiltonian を選ぶ。1つは空洞の中の電磁場、もう1つは結晶の中の原子の振動である。電磁場は第2部第6章の Lagrangian 密度で、原子の列は第2部第4章の Lagrangian で書かれ、どちらも場の変数について2次式なので、基準振動に分けると独立な調和振動子の和になる（5.3.1節）。各振動子に第4部第4章の生成消滅演算子を当てると、エネルギーは $\hbar\omega$ を単位とする段に並び、その段の数を数えたものが、電磁場では光子、格子振動ではフォノンと呼ばれる。

当てる道具は、第3部第6章で調和振動子1つに当てたカノニカル分布を、振動子の集まりに当てることである（5.3.2節）。振動子が独立なので分配関数は積に分かれ、熱力学の量はすべて「モードの密度 $g(\omega)$ × 振動子1つの量」の積分になる。光子とフォノンの違いは $g(\omega)$ の違いだけになる。

出てくるものは3つある。第一は黒体放射で、Planck の式から $T^4$ 則・光子気体の状態方程式 $P=U/(3V)$・化学ポテンシャル $0$ が出る（5.3.3節）。第二は Debye の比熱で、低温の $T^3$ 則が光子気体の $T^4$ 則と同じ式であること、高温で比熱が止まるのはフォノンのモードの数が有限だからであることを示す（5.3.4節）。第三は、熱平均では捨てた零点エネルギーと、モードの占有数の揺らぎで、零点エネルギーの差として Casimir 力が出ること、揺らぎが粒子の項と波の項の和になることを示す（5.3.5節）。最後に授業で習った Stefan–Boltzmann の法則・Wien の変位則・Debye のモデルと並べ（5.3.6節）、まとめと総合問題で終える。

単位は SI で、量子の演算子には帽子を付ける（この部の場の量子論の章と違い、この章は ħ = c = 1 にしない）。温度 $T$ と体積 $V$ が出てくるので、運動エネルギーに $T$ を使わず、ポテンシャルにも $V$ を使わない。振動子の基準座標を $Q_\alpha$, $P_\alpha$ と書く（この章には熱 $Q$ も圧力 $P$ も出てくるが、基準座標には必ずモードの添字 $\alpha$ を付けて区別する）。

格子振動：原子の列の基準振動

第2部第4章では、質量 $m$ の原子が間隔 $a$ で並び、隣どうしがばね定数 $K$ でつながった列（$N$ 個、周期境界）の Lagrangian

$$L=\sum_{j=1}^{N}\frac m2\dot u_j^2-\sum_{j=1}^{N}\frac K2(u_{j+1}-u_j)^2\tag{5.3.1}$$

を選んだ。$u_j$ は $j$ 番目の原子の平衡の位置からのずれである。番号を1つずらす対称性から、基準振動は平面波 $u_j\propto\mathrm{e}^{\mathrm{i} kja}$ で、許される波数は $k=2\pi l/(Na)$（$l$ は整数で、$\lvert k\rvert \le\pi/a$ の範囲に $N$ 個）、角振動数は

$$\omega_k=\omega_{\mathrm m}\lvert \sin\frac{ka}{2}\rvert ,\qquad \omega_{\mathrm m}=2\sqrt{\frac Km}\tag{5.3.2}$$

であった。第2部第4章では離散 Fourier 変換で基準座標を作り、$L$ が $N$ 個の独立な振動子の和になることを示した。基準座標に $\sqrt m$ を掛けて質量を含めた座標に取り直すと、Hamiltonian は

$$H=\sum_{k}\frac12\bigl(P_k^2+\omega_k^2Q_k^2\bigr)\tag{5.3.3}$$

と書ける（$Q_k$ は複素数の基準座標を実部と虚部、あるいは $k$ と $-k$ の和と差に組み直した実数の座標で、数は $N$ 個のまま変わらない）。3次元の結晶では、1つの波数 $\bm{k}$ に振動の向きが3つあるので、分岐 $s=1,2,3$ ごとに分散関係 $\omega_s(\bm{k})$ があり、モードの総数は $3N$ である。$\bm{k}$ は第1 Brillouin 域の中に限られる。

この $H$ は、原子どうしの力のポテンシャルをずれ $u_j$ について2次まで展開したもの（調和近似）である。熱運動や零点振動の振幅が格子定数に比べて小さいとき、捨てた3次以上の項は小さい。

電磁場：空洞のモード

真空の空洞の中の電磁場は、第2部第6章の Lagrangian 密度

$$\mathcal L=\frac{\varepsilon_0}{2}\bm{E}^2-\frac{1}{2\mu_0}\bm{B}^2,\qquad \bm{E}=-\nabla\phi-\frac{\partial \bm{A}}{\partial t},\quad \bm{B}=\nabla\times\bm{A}\tag{5.3.4}$$

で書かれる。電荷の無い空洞では Coulomb ゲージ $\nabla\cdot\bm{A}=0$、$\phi=0$ を選ぶことができ、$\bm{E}=-\partial_t\bm{A}$ となる。Euler–Lagrange 方程式は波動方程式 $\partial_t^2\bm{A}=c^2\nabla^2\bm{A}$ である。1辺 $L_{\mathrm b}$ の立方体（体積 $V=L_{\mathrm b}^3$）に周期境界条件を置くと、許される波数は $\bm{k}=(2\pi/L_{\mathrm b})(n_x,n_y,n_z)$ で、$\nabla\cdot\bm{A}=0$ のため振動の向きは $\bm{k}$ に垂直な2つ（偏光 $s=1,2$、単位ベクトル $\bm{e}_{\bm{k}s}$）に限られる。$\bm{A}$ をこのモードで展開すると、モード $(\bm{k},s)$ ごとに $\mathcal L$ の積分が$\frac12(\dot Q^2-\omega_k^2Q^2)$ の形に分かれ、角振動数は $\omega_k=c\lvert \bm{k}\rvert$ になる（1つのモードでの計算を例題 5.3.1 で行う）。電場のエネルギー $\varepsilon_0\bm{E}^2/2$ が振動子の運動エネルギーに、磁場のエネルギー $\bm{B}^2/(2\mu_0)$ がポテンシャルエネルギーに当たる。

格子振動と違い、電磁場の $\mathcal L$ は近似なしに場の2次式である。Maxwell 方程式が線形だからで、振動子への分解は真空中では厳密に成り立つ。一方で、$\bm{k}$ に上限が無いので、モードは無限個ある。

振動子ごとに量子化する

モードの番号をまとめて $\alpha$（格子では $(\bm{k},s)$ の $3N$ 個、電磁場では $(\bm{k},s)$ の無限個）と書く。どちらの場合も、選ぶ Hamiltonian は

$$H=\sum_\alpha\frac12\bigl(P_\alpha^2+\omega_\alpha^2Q_\alpha^2\bigr)\tag{5.3.5}$$

である。各振動子に第4部第4章の正準量子化 $\left[\hat Q_\alpha,\,\hat P_\beta\right]=\mathrm{i}\hbar\delta_{\alpha\beta}$ を当て、

$$\hat a_\alpha=\frac{\omega_\alpha\hat Q_\alpha+\mathrm{i}\hat P_\alpha}{\sqrt{2\hbar\omega_\alpha}},\qquad \left[\hat a_\alpha,\,\hat a_\beta^\dagger\right]=\delta_{\alpha\beta}\tag{5.3.6}$$

と置くと、

$$\hat H=\sum_\alpha\hbar\omega_\alpha\Bigl(\hat a_\alpha^\dagger\hat a_\alpha+\frac12\Bigr)=\sum_\alpha\hbar\omega_\alpha\Bigl(\hat n_\alpha+\frac12\Bigr)\tag{5.3.7}$$

になる。第4部第4章で示したとおり、$\hat n_\alpha=\hat a_\alpha^\dagger\hat a_\alpha$ の固有値は $n_\alpha=0,1,2,\dots$ で、エネルギーの固有状態は各モードの段の数を並べた $| \{n_\alpha\} \rangle =| n_1,n_2,\dots \rangle$、固有値は

$$E_{\{n_\alpha\}}=\sum_\alpha\hbar\omega_\alpha n_\alpha+E_0,\qquad E_0=\sum_\alpha\frac12\hbar\omega_\alpha\tag{5.3.8}$$

である。$\hat a_\alpha^\dagger$ は振動子 $\alpha$ の段を1つ上げ、エネルギーを $\hbar\omega_\alpha$ だけ増やす。周期境界の平面波のモードでは、運動量（格子では結晶運動量）も $\hbar\bm{k}$ だけ増える。そこで $n_\alpha$ を「エネルギー $\hbar\omega_\alpha$・運動量 $\hbar\bm{k}$ を持つ粒子が、1粒子状態 $\alpha$ に $n_\alpha$ 個いる」と読み替えることができる。この粒子を電磁場では光子、格子振動ではフォノンと呼ぶ。

この読み替えには2つの特徴がある。第一に、同じ状態 $\alpha$ に何個でも入ることができ、粒子を入れ替えても状態は変わらない（$| \{n_\alpha\} \rangle$ は個数だけで決まり、どの粒子がどこにいるかという情報を持たない）。これは Bose 粒子の性質である。第二に、粒子の数 $\sum_\alpha n_\alpha$ は保存量ではない。空洞の壁が光を吸収・放出すれば光子の数は変わり、非調和項があればフォノンの数も変わる。振動子の言葉では「段の数」が変わるだけで、何かが生まれたり消えたりする必要はない。

場を演算子 $\hat\phi(\bm{x})$ として全体で量子化する形は第2章で扱った（第5部第2章。そこでは ħ = c = 1）。この章はその結果をモードごとの振動子として読み直し、SI で数を出す。