この章のまとめ

(1) $\left[Q_k,\,P_{k'}\right]=\frac1N\sum_{j,l}\mathrm{e}^{-\mathrm{i} kja}\mathrm{e}^{\mathrm{i} k'la}\left[u_j,\,p_l\right]=\frac{\mathrm{i}\hbar}{N}\sum_j\mathrm{e}^{\mathrm{i}(k'-k)ja}=\mathrm{i}\hbar\delta_{kk'}$。$u_j$ が実なので $Q_k^\dagger=Q_{-k}$、$P_k^\dagger=P_{-k}$。$\sum_jp_j^2=\sum_kP_kP_{-k}$、$\sum_j(u_{j+1}-u_j)^2=\sum_k\lvert \mathrm{e}^{\mathrm{i} ka}-1\rvert ^2Q_kQ_{-k}=\sum_k4\sin^2(ka/2)Q_kQ_{-k}$ なので

$$H=\sum_k\Bigl(\frac{P_kP_{-k}}{2M}+\frac12M\omega_k^2Q_kQ_{-k}\Bigr).$$

これは式 (5.2.9) と同じ形で、$\phi_{\bm{k}}\to\sqrt M\,Q_k$、$\pi_{\bm{k}}\to P_{-k}/\sqrt M$ と対応する（$\left[Q_k,\,P_{-k}^\dagger\right]=\left[Q_k,\,P_k\right]=\mathrm{i}\hbar$ が式 (5.2.8) に当たる）。したがって例題 5.2.2 と同じ計算で $\left[b_k,\,b^\dagger_{k'}\right]=\delta_{kk'}$、式 (5.2.13) と同じ計算で $k\ne0$ の部分が $\sum\hbar\omega_k(b^\dagger_kb_k+\frac12)$ になる。$k=0$ は $\omega_0$ の項が無い（$\omega_{k=0}=0$）ので振動子にならず、$P_0^2/(2M)=(\sum_jp_j)^2/(2NM)$ は列全体の重心の自由な運動である（第2部第4章の Noether の全運動量）。

(2) $E_0=\sum_{k\ne0}\hbar\omega_k/2$。$N\to\infty$ で $\frac1N\sum_k\to\frac{a}{2\pi}\int_{-\pi/a}^{\pi/a}\mathrm{d} k$、$\theta=ka/2$ とおいて

$$\frac{E_0}{N}=\frac{a}{2\pi}\int_{-\pi/a}^{\pi/a}\hbar\omega_0\lvert \sin\frac{ka}{2}\rvert \mathrm{d} k=\frac{\hbar\omega_0}{\pi}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\lvert \sin\theta\rvert \,\mathrm{d}\theta=\frac{2\hbar\omega_0}{\pi}=0.637\,\hbar\omega_0 .$$

$2\hbar\omega_0$ との比は $1/\pi=0.318$。格子では波数に上限 $\pi/a$ があるので、5.2.3節の場と違って原子1個あたりの零点エネルギーは有限である。場の零点エネルギーの発散は、格子間隔 $a\to0$ で波数の上限が無くなることに当たる。

(3) $u_j=N^{-1/2}\sum_kQ_k\mathrm{e}^{\mathrm{i} kja}$ で、$Q_k=\sqrt{\hbar/(2M\omega_k)}\,(b_k+b^\dagger_{-k})$（$k\ne0$）。真空では $\langle Q_kQ_{k'} \rangle =\frac{\hbar}{2M\omega_k}\delta_{k',-k}$（第4部第4章の $\langle q^2 \rangle =\hbar/(2m\omega)$ のモード版）なので

$$\langle (u_j-u_{j+r})^2 \rangle =\frac1N\sum_{k\ne0}\lvert 1-\mathrm{e}^{\mathrm{i} kra}\rvert ^2\frac{\hbar}{2M\omega_k}=\frac{\hbar}{MN}\sum_{k\ne0}\frac{1-\cos kra}{\omega_k}.$$

（$k=0$ は $1-\cos0=0$ なので相対的なずれに寄与しない。）$N\to\infty$ で積分にし、$\theta=ka/2$、$1-\cos2r\theta=2\sin^2r\theta$ を使うと

$$\langle (u_j-u_{j+r})^2 \rangle =\frac{\hbar}{\pi M\omega_0}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{\sin^2r\theta}{\lvert \sin\theta\rvert }\mathrm{d}\theta =\frac{2\hbar}{\pi M\omega_0}\sum_{n=1}^r\int_0^{\pi/2}\sin((2n-1)\theta)\,\mathrm{d}\theta=\frac{2\hbar}{\pi M\omega_0}\sum_{n=1}^r\frac{1}{2n-1}.$$

$S_r$ は $\frac12\ln r$ のように際限なく増えるので、基底状態でも遠く離れた原子の相対位置の揺らぎは $r\to\infty$ で発散する。被積分関数 $(1-\cos kra)/\omega_k$ は小さな $k$ で $\omega_k\approx a\omega_0\lvert k\rvert$ のため $1/\lvert k\rvert$ のように振る舞い、$\int\mathrm{d} k/\lvert k\rvert$ の対数の発散が $r$ の対数として現れる。

(4) $\langle (u_j-u_{j+r})^2 \rangle =(0.1a)^2$ とおくと $\frac{2}{\pi}\times1.0\times10^{-3}\times S_r=0.01$、すなわち $S_r=5\pi=15.71$。$\frac12\ln r+\ln2+\frac\gamma2=15.71$ を解いて $\ln r=29.45$、$r=6.2\times10^{12}$。隣の原子との相対的なずれは $\sqrt{(2/\pi)\times10^{-3}}\,a=0.025\,a$ と小さく、それが $0.1a$ に育つには $10^{12}$ 個を超える原子をまたぐ必要がある。対数の増え方は非常に遅い。

連続の極限では、原子の列は第2部第4章の弦、すなわち 1+1 次元の質量 $0$ の場になる。例題 5.2.5 の場で同じ量を計算すると$\int\frac{\mathrm{d} k}{2\pi}\frac{1-\cos kx}{\lvert k\rvert }$ が小さな $k$（長い波長）で対数発散する。質量 $0$ の場では $\omega_k\to0$ のモードの零点の揺らぎ $\hbar/(2\omega_k)$ が大きくなり、1次元ではそれを積分した量が赤外（長い波長）で発散する。質量があれば $\omega_k\ge m$ なので発散しない。3次元の結晶では、同じ和が $\int\mathrm{d}^3k\,(1-\cos\bm{k}\cdot\bm{r})/\lvert \bm{k}\rvert$ になり、$\mathrm{d}^3k=4\pi k^2\mathrm{d} k$ の因子 $k^2$ のおかげで小さな $k$ で収束するので、$r\to\infty$ でも相対的なずれは有限にとどまり、結晶の長距離の秩序は量子揺らぎで壊れない。1次元だけで秩序が対数的に壊れるのは、小さな $k$ のモードの数が次元で違うためである。