授業で習った形との対応

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第5部 第2章 §5.2.6　★★ 箱で量子化する式は $a^{(V)}=a/\sqrt V$ の書き方、第二量子化は Schrödinger 場の正準量子化。2つは非相対論の極限でつながる

箱で量子化する書き方

量子光学や固体物理の授業では、場を体積 $V$ の箱で量子化し、SI で

$$\phi(\bm{x})=\sum_{\bm{k}}\sqrt{\frac{\hbar}{2\omega_{\bm{k}}V}}\Bigl(a_{\bm{k}}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\bm{k}\cdot\bm{x}}+a_{\bm{k}}^\dagger\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\bm{k}\cdot\bm{x}}\Bigr),\qquad \left[a_{\bm{k}},\,a^\dagger_{\bm{k}'}\right]=\delta_{\bm{k}\bm{k}'}$$

の形で書くことが多い（電磁場ならベクトル $\bm{A}$ に偏光ベクトルが付き、係数に $\varepsilon_0$ が入る）。この章の $a^{(V)}_{\bm{k}}$ がこの $a_{\bm{k}}$ に当たり、式 (5.2.12) に $\hbar$ を戻したものである。この巻で使う連続の規格化 (5.2.16) との関係は、式 (5.2.15) の置き換えだけである。光の巻はモードの数を数える議論が多いので箱の規格化を使う（光学と量子エレクトロニクス 第30章）。2つの規格化を1つの式の中で混ぜないこと。

授業では「電磁場の各モードは調和振動子とみなせるので、それぞれを量子化する」と述べてから $a_{\bm{k}}$ を導入することが多い。この章ではその「みなせる」の中身を、Lagrangian 密度から正準運動量を作り、Fourier 成分で Hamiltonian が対角になることとして示した。光子の数え方と黒体放射は第5部第3章でこの形のまま使う。

第二量子化

多体の量子力学の授業では、1粒子の波動関数 $\psi(\bm{x})$ を演算子に置き換え、

$$\left[\psi(\bm{x}),\,\psi^\dagger(\bm{y})\right]=\delta^{(3)}(\bm{x}-\bm{y}),\qquad H=\int\mathrm{d}^3x\;\psi^\dagger\Bigl(-\frac{\nabla^2}{2m}+V(\bm{x})\Bigr)\psi\tag{5.2.28}$$

とする手続きを第二量子化と呼ぶ（$\hbar=1$）。「量子力学の波動関数をもう一度量子化する」という名前だが、正準量子化の言葉では次のように読める。第2部第5章で、Schrödinger 場の $\mathcal L=\mathrm{i}\psi^*\partial_t\psi-\frac{1}{2m}\nabla\psi^*\cdot\nabla\psi-V\psi^*\psi$ の正準運動量は $\pi_\psi=\mathrm{i}\psi^*$ だった。$\mathcal L$ が時間微分について1次なので、$\psi$ と $\mathrm{i}\psi^*$ がはじめから正準変数の組である。正準交換関係 (5.2.6) を当てると$\left[\psi(\bm{x}),\,\mathrm{i}\psi^\dagger(\bm{y})\right]=\mathrm{i}\delta^{(3)}(\bm{x}-\bm{y})$ で、これは式 (5.2.28) の交換関係そのものである。Hamiltonian 密度 $\mathcal H=\pi_\psi\partial_t\psi-\mathcal L$ も式 (5.2.28) の被積分関数になる。第二量子化は、Schrödinger 場という古典の場を正準量子化することにほかならない。

1粒子のエネルギー固有関数 $u_n(\bm{x})$（$(-\nabla^2/(2m)+V)u_n=\varepsilon _nu_n$）で $\psi=\sum_nu_n(\bm{x})a_n$ と展開すると $H=\sum_n\varepsilon _na_n^\dagger a_n$ になる。Klein–Gordon 場と違って零点エネルギーの $\frac12$ が出ないのは、$\psi$ と $\psi^\dagger$ がはじめから消滅・生成の役に分かれていて、並べ替えが要らないためである。フェルミオン（電子）では交換子を反交換子 $\{\psi(\bm{x}),\psi^\dagger(\bm{y})\}_{+}=\delta^{(3)}(\bm{x}-\bm{y})$ に替える。どちらを選ぶかは正準量子化の規則からは決まらず、相対論的な場で粒子のスピンと結びつく。その理由は第5部第4章で扱う。

2つを結ぶ：非相対論の極限

Klein–Gordon 場と Schrödinger 場は別の場に見えるが、運動量が質量に比べて小さい極限でつながる。次の例題で確かめる。

量子化した場で同じことを見ると、式 (5.2.16) の $a_{\bm{k}}\mathrm{e}^{-\mathrm{i} k\cdot x}$ の部分だけを集めた $\psi(x)=\mathrm{e}^{\mathrm{i} mt}\int\frac{\mathrm{d}^3k}{(2\pi)^3}\sqrt{\frac{m}{\omega_{\bm{k}}}}a_{\bm{k}}\mathrm{e}^{-\mathrm{i} k\cdot x}$ が$\lvert \bm{k}\rvert \ll m$ の成分については $\left[\psi(\bm{x}),\,\psi^\dagger(\bm{y})\right]\approx\delta^{(3)}(\bm{x}-\bm{y})$ を満たす。$\phi$ に入っていた $a^\dagger$ の部分（負の振動数）は $\mathrm{e}^{2\mathrm{i} mt}$ で振動して時間平均で落ち、消滅演算子だけを含む $\psi$ が残る。第二量子化の $\psi$ が消滅演算子だけで書けるのはこのためで、相対論的な場で生成と消滅が1つの場に同居することとの違いはここにある。

対応の表