当てる道具：正準交換関係と箱の中のモード

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第5部 第2章 §5.2.2　★★★ $\{\phi,\pi\}=\delta^{(3)}$ を $[\phi,\pi]=\mathrm{i}\delta^{(3)}$ に置き換え、箱の中の Fourier 成分ごとに第4部第4章の $a=(\omega q+\mathrm{i} p)/\sqrt{2\omega}$ を作る

等時刻の正準交換関係

第4部第1章の規則 $\{\cdot,\cdot\}\to[\cdot,\cdot]/\mathrm{i}$（$\hbar=1$）を、第2部第5章の場の Poisson 括弧に当てる。

粒子の $\left[q_i,\,p_j\right]=\mathrm{i}\delta_{ij}$ の番号 $i,j$ が空間の点 $\bm{x},\bm{y}$ に、Kronecker のデルタが Dirac のデルタに変わっただけである。要請するのは同じ時刻の交換関係だけで、異なる時刻の $\left[\phi(x),\,\phi(y)\right]$ は要請しない。異なる時刻の場は運動方程式で結ばれているので、その交換子は運動方程式を解いた結果として決まる（5.2.5節）。粒子の量子力学でも、要請するのは同じ時刻の $\left[q,\,p\right]=\mathrm{i}$ で、$\left[q(t),\,q(0)\right]$ は解いてから求めるのと同じ事情である。

式 (5.2.6) の右辺のデルタ関数は、$\phi(\bm{x})$ が1点ごとの値としては意味を持たないことを示している。1点の $\phi(\bm{x})$ の揺らぎは発散し（5.2.5節の $D(x)$ が $x\to0$ で発散する）、意味を持つのは滑らかな関数 $f$ で均した $\phi(f)=\int f(\bm{x})\phi(\bm{x})\,\mathrm{d}^3x$ の方である。この章では数学の厳密さに立ち入らず、次の小節のように空間を有限の箱に閉じ込めて、自由度を数えられる形にしてから計算する。

箱の中の Fourier 成分

一辺 $\ell$、体積 $V=\ell^3$ の立方体の箱に場を閉じ込め、周期境界条件 $\phi(\bm{x}+\ell\bm{e}_x)=\phi(\bm{x})$（$y$、$z$ も同じ）を課す。許される波数は $\bm{k}=(2\pi/\ell)(n_x,n_y,n_z)$（$n_x,n_y,n_z$ は整数）で、可算個になる。場とその運動量を

$$\phi_{\bm{k}}=\frac{1}{\sqrt V}\int_V\mathrm{d}^3x\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\bm{k}\cdot\bm{x}}\phi(\bm{x}),\qquad \pi_{\bm{k}}=\frac{1}{\sqrt V}\int_V\mathrm{d}^3x\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\bm{k}\cdot\bm{x}}\pi(\bm{x})\tag{5.2.7}$$

で Fourier 成分に分ける。$\phi$ と $\pi$ はエルミートなので $\phi_{\bm{k}}^\dagger=\phi_{-\bm{k}}$、$\pi_{\bm{k}}^\dagger=\pi_{-\bm{k}}$ である。式 (5.2.6) から、$\frac1V\int_V\mathrm{d}^3x\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\bm{k}'-\bm{k})\cdot\bm{x}}=\delta_{\bm{k}\bm{k}'}$ を使って

$$\left[\phi_{\bm{k}},\,\pi_{\bm{k}'}^\dagger\right]=\frac1V\int\mathrm{d}^3x\,\mathrm{d}^3y\;\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\bm{k}\cdot\bm{x}+\mathrm{i}\bm{k}'\cdot\bm{y}}\,\mathrm{i}\delta^{(3)}(\bm{x}-\bm{y})=\mathrm{i}\,\delta_{\bm{k}\bm{k}'}\tag{5.2.8}$$

を得る。デルタ関数が Kronecker のデルタに戻り、モードの番号 $\bm{k}$ ごとに有限自由度の交換関係ができた。

Hamiltonian (5.2.5) を Fourier 成分で書く。Parseval の等式 $\int_V\lvert f\rvert ^2\mathrm{d}^3x=\sum_{\bm{k}}\lvert f_{\bm{k}}\rvert ^2$ と $\nabla\to\mathrm{i}\bm{k}$ から

$$H=\sum_{\bm{k}}\frac12\Bigl(\pi_{\bm{k}}^\dagger\pi_{\bm{k}}+\omega_{\bm{k}}^2\,\phi_{\bm{k}}^\dagger\phi_{\bm{k}}\Bigr),\qquad \omega_{\bm{k}}^2=\lvert \bm{k}\rvert ^2+m^2\tag{5.2.9}$$

となる。勾配の項 $(\nabla\phi)^2$ は異なる点の $\phi$ を結ぶので、点ごとに見ると自由度は結合しているが、Fourier 成分に移ると $\bm{k}$ ごとに分かれる。これは第2部第4章の原子の列で、番号ずらしの対称性から基準振動が平面波に決まったのと同じ理由による。ここでの対称性は空間の並進である。

各モードに生成消滅演算子を作る

式 (5.2.9) の1つの $\bm{k}$ の項は、質量 $1$、角振動数 $\omega_{\bm{k}}$ の調和振動子の Hamiltonian $\frac12(p^2+\omega^2q^2)$ と同じ形をしている。第4部第4章では、作用角変数の複素振幅 $z=(m\omega q+\mathrm{i} p)/\sqrt{2m\omega}$ をそのまま演算子に置き換えて消滅演算子を作った。同じ組み合わせを各モードで作る。

逆に解くと、$\phi_{-\bm{k}}=\phi_{\bm{k}}^\dagger$ に注意して

$$\phi_{\bm{k}}=\frac{a^{(V)}_{\bm{k}}+a^{(V)\dagger}_{-\bm{k}}}{\sqrt{2\omega_{\bm{k}}}},\qquad \pi_{\bm{k}}=-\mathrm{i}\sqrt{\frac{\omega_{\bm{k}}}{2}}\,\bigl(a^{(V)}_{\bm{k}}-a^{(V)\dagger}_{-\bm{k}}\bigr)\tag{5.2.11}$$

となる（右辺を式 (5.2.10) に戻すと $\omega_{\bm{k}}\phi_{\bm{k}}+\mathrm{i}\pi_{\bm{k}}=\sqrt{2\omega_{\bm{k}}}\,a^{(V)}_{\bm{k}}$ が確かめられる）。1つの $\phi_{\bm{k}}$ に $a_{\bm{k}}$ と $a^\dagger_{-\bm{k}}$ の両方が入るのは、$\phi_{\bm{k}}$ が複素数で、実部と虚部の2つの実の自由度を $\bm{k}$ と $-\bm{k}$ の2つのモードが分け持つためである。空間の関数に戻すと、時刻 $t=0$ で

$$\phi(\bm{x})=\sum_{\bm{k}}\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\bm{k}}V}}\Bigl(a^{(V)}_{\bm{k}}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\bm{k}\cdot\bm{x}}+a^{(V)\dagger}_{\bm{k}}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\bm{k}\cdot\bm{x}}\Bigr)\tag{5.2.12}$$

になる（第2項は和の番号を $\bm{k}\to-\bm{k}$ と付け替えた）。