この章で選ぶ $\mathcal L$：$\phi^4$ 理論と発散する2つの積分

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第5部 第9章 §5.9.1　★★★ $\mathcal L=\frac12\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi-\frac12m^2\phi^2-\frac{\lambda}{4!}\phi^4$ を選ぶ。1ループのおたまじゃくし $A$ と泡 $B(p)$ を Euclid の積分で書き、正則化とは何をすることかを定める

第5部第7章（第5部第7章）では、相互作用の項を含む作用 $S[\phi]$ から、摂動展開の各項を図に対応させる Feynman 則を作った。第5部第8章（第5部第8章）では、ループを1つ含む図の運動量積分が大きな運動量で発散すること、その発散の強さを図の形だけから数える表面的発散次数を見た。この章では、発散した積分にどう意味を持たせるかを扱う。

選ぶのは、第5部でくりこみ群まで使い続ける実スカラー場の $\phi^4$ 理論の Lagrangian 密度である。この $\mathcal L$ から出る1ループの図のうち、2点関数の「おたまじゃくし」の図と4点関数の「泡」の図の2つが、それぞれ2乗と対数で発散する。当てる道具は3つで、虚時間への回転（Wick 回転。第5部第1章の「$\mathrm{e}^{-\beta H}$ は虚時間の時間発展」と同じ操作）、分母を1つにまとめる Feynman パラメータ、$\Gamma$ 関数による $d$ 次元の積分の公式である。

出てくるものは次の3つである。1つ目は、運動量の上限 $\Lambda$ で積分を打ち切る方法（切断）と、重い粒子の図を引く方法（Pauli–Villars 型）で、どちらも直観に合うが、積分変数のずらしやゲージ不変性を壊すことがある。2つ目は、時空の次元 $d$ を連続な数とみなして積分を $d$ の関数として定義し、$d\to4$ の極を取り出す方法（次元正則化）で、対称性を保つ。3つ目は、正則化のやり方を変えても、外の運動量や質量について低い次数の多項式の部分しか変わらない、という性質である。物理量はこの多項式の部分を含まない組み合わせ（2つの運動量での値の差など）で書けるので、正則化の選び方は物理量に残らない。5.9.6節では、電磁気学で習う無限に長い線電荷の電位と点電荷の自己エネルギー、Casimir 効果の和 $\sum n=-1/12$ を、同じ見方で並べる。

単位と記号の約束

この章では $\hbar=c=1$ とし、演算子の帽子を省く。計量は $\eta_{\mu\nu}=\mathrm{diag}(+1,-1,-1,-1)$（この本の流儀）で、4元運動量の2乗 $\ell^2=(\ell^0)^2-\lvert \bm{\ell}\rvert ^2$ は時間的なときに正である。5.9.6節だけは電磁気学の授業の式と並べるために SI で書き、その節の冒頭で断る。

選ぶ Lagrangian 密度

この章で選ぶのは

$$\mathcal L=\frac12\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi-\frac12m^2\phi^2-\frac{\lambda}{4!}\phi^4\tag{5.9.1}$$

である。第5部第2章（第5部第2章）の Klein–Gordon 場に、$\phi$ の4次の相互作用を足したものである。$\lambda>0$ ならポテンシャル $\frac12m^2\phi^2+\frac{\lambda}{4!}\phi^4$ は下に有界で、真空が安定である。$\hbar=c=1$ では $\phi$ が質量の1乗の次元、$\mathcal L$ が質量の4乗の次元を持つので、$\lambda$ は無次元である。この「結合定数が無次元」という性質が、この章と次の2章で発散の形を決める。

第5部第7章の Feynman 則を結果だけ引くと、内線1本ごとに伝播関数 $\mathrm{i}/(\ell^2-m^2+\mathrm{i}0)$、頂点1つごとに $-\mathrm{i}\lambda$、閉じたループ1つごとに運動量積分 $\int\mathrm{d}^4\ell/(2\pi)^4$ を掛け、図の対称因子で割る。ここで $\mathrm{i}0$ は、時間順序をとった伝播関数の極を実軸からずらす向きを表す無限小である。相互作用の項を $\lambda/4!$ と書いたのは、4本の線を頂点につなぐ $4!$ 通りの付け方で頂点の因子が $-\mathrm{i}\lambda$ になるようにするためである。

1ループの2つの図

$\lambda$ の1次で2点関数を補正する図は、頂点から出た2本の線を結んだループ1つを持つ（おたまじゃくしの図。対称因子は $2$ で、$1/2$ が掛かる）。その値を $-\mathrm{i}\Pi$ と書くと

$$-\mathrm{i}\Pi=\frac12(-\mathrm{i}\lambda)\int\frac{\mathrm{d}^4\ell}{(2\pi)^4}\frac{\mathrm{i}}{\ell^2-m^2+\mathrm{i}0}\tag{5.9.2}$$

である。伝播関数に $-\mathrm{i}\Pi$ を1つ挟んだものを足すと $\frac{\mathrm{i}}{p^2-m^2}+\frac{\mathrm{i}}{p^2-m^2}(-\mathrm{i}\Pi)\frac{\mathrm{i}}{p^2-m^2}\approx\frac{\mathrm{i}}{p^2-m^2-\Pi}$ なので、$\Pi$ は質量の2乗のずれ $m^2\to m^2+\Pi$ を表す。

$\lambda$ の2次で4点関数を補正する図のうち、入ってくる2本の運動量の和 $p$ がループを回る図（$s$ チャンネルの泡の図。対称因子は $2$ で、$1/2$ が掛かる）は

$$\mathrm{i}\mathcal M_s=\frac12(-\mathrm{i}\lambda)^2\int\frac{\mathrm{d}^4\ell}{(2\pi)^4}\frac{\mathrm{i}}{\ell^2-m^2+\mathrm{i}0}\,\frac{\mathrm{i}}{(\ell+p)^2-m^2+\mathrm{i}0}\tag{5.9.3}$$

である。$t$, $u$ チャンネルの図は $p$ を別の運動量の組み合わせに替えたものになる。

第5部第8章の表面的発散次数 $D$ で数えると、4次元の $\phi^4$ 理論で外線を $E$ 本持つ図は $D=4-E$ だった（$D$ は「積分変数を全部 $\Lambda$ 倍したとき積分が $\Lambda^{D}$ のように増える」ことを表す）。おたまじゃくしは $E=2$ で $D=2$（被積分関数が $\ell^{-2}$、測度が $\ell^4$）、泡は $E=4$ で $D=0$（被積分関数が $\ell^{-4}$）なので、それぞれ2乗と対数で発散する。

Euclid の積分にする

(5.9.2) と (5.9.3) は Minkowski の計量のままでは被積分関数が $\ell^2=m^2$ の殻の上で特異で、扱いにくい。5.9.2節で示すように、$\ell^0$ の積分路を虚軸へ回して $\ell^0=\mathrm{i}\ell^4$（$\ell^4$ は実数）とおくと、$\ell^2=-(\ell^4)^2-\lvert \bm{\ell}\rvert ^2\eqqcolon-\ell_{\mathrm E}^2$、$\mathrm{d}^4\ell=\mathrm{i}\,\mathrm{d}^4\ell_{\mathrm E}$ になる。外の運動量も同じく $p^0=\mathrm{i} p^4$ と Euclid 化する（$s=p^2<0$ の領域の値を求め、$s>0$ へは解析接続でつなぐ）。すると $\mathrm{i}\cdot\mathrm{i}/(-1)=1$ などの因子がそろって

$$\Pi=\frac{\lambda}{2}A,\qquad \mathcal M_s=\frac{\lambda^2}{2}B(p),\tag{5.9.4}$$

$$A\coloneqq\int\frac{\mathrm{d}^4\ell}{(2\pi)^4}\frac{1}{\ell^2+m^2},\qquad B(p)\coloneqq\int\frac{\mathrm{d}^4\ell}{(2\pi)^4}\frac{1}{(\ell^2+m^2)((\ell+p)^2+m^2)}\tag{5.9.5}$$

を得る。ここから先、(5.9.5) の $\ell$, $p$ は Euclid の4元ベクトルで、$\ell^2$ は4成分の2乗の和（正）である。被積分関数はどこでも正で有限になり、問題は大きな $\lvert \ell\rvert$ での振る舞いだけに絞られた。4次元の球面の面積が $2\pi^2$ なので$\mathrm{d}^4\ell/(2\pi)^4=\ell^3\mathrm{d}\ell\,/(8\pi^2)\times(\text{方向の平均})$ で、$A$ は $\int^\infty\ell\,\mathrm{d}\ell$、$B$ は $\int^\infty\mathrm{d}\ell/\ell$ のように発散する。

1ループの4点の振幅は3つのチャンネルを足して

$$\mathcal M=-\lambda+\frac{\lambda^2}{2}\bigl[B(p_s)+B(p_t)+B(p_u)\bigr]+\mathcal{O}(\lambda^3)\tag{5.9.6}$$

になる（$p_s=p_1+p_2$, $p_t=p_1-p_3$, $p_u=p_1-p_4$）。

正則化とは何をすることか

$A$ と $B$ は値を持たないので、(5.9.4) と (5.9.6) はこのままでは式として意味を持たない。そこで、元の積分の代わりに、パラメータ $\kappa$ を1つ持つ有限な量の族 $A_\kappa$, $B_\kappa(p)$ を考え、次の3つを要求する。

(ii) によって、正則化は収束する積分を変えない。発散する積分についての答えは $\kappa$ に依存し、極限では発散する。この章の後半で示すのは、その依存が外の運動量と質量の低い次数の多項式の中に閉じ込められることで、だから物理量は $\kappa$ によらずに書ける。多項式の部分を $\mathcal L$ のパラメータに吸い込む手続きが第5部第10章のくりこみである。この章では吸い込みは行わず、正則化の方法そのものを比べる。