授業で習った形との対応

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第5部 第9章 §5.9.6　★★ 無限に長い線電荷の電位の「基準点」、点電荷の自己エネルギーの「半径」、Casimir 効果の $\sum n=-1/12$ は、どれも正則化と、そのパラメータが物理量に残らないことの例

この節だけ SI で書く。電磁気学の授業では、発散を「基準点を選ぶ」「有限の大きさを仮定する」と言い換えて扱ってきた。この章の言葉で並べ直す。

無限に長い線電荷の電位

単位長さあたりの電荷 $\lambda_{\mathrm e}$（$\phi^4$ の結合定数 $\lambda$ と区別するため添字 e を付ける）が $z$ 軸に一様に分布しているとき、授業では Gauss の法則から電場$E(r)=\lambda_{\mathrm e}/(2\pi\varepsilon_0r)$ を求め、電位を

$$\phi(r)=-\frac{\lambda_{\mathrm e}}{2\pi\varepsilon_0}\ln\frac{r}{r_0}\tag{5.9.24}$$

と書く。基準点 $r_0$ は任意で、「無限遠を基準にできない」と注意される。電荷を足し合わせて電位を直接求めると、$\phi(r)=\frac{\lambda_{\mathrm e}}{4\pi\varepsilon_0}\int_{-\infty}^\infty\frac{\mathrm{d} z}{\sqrt{r^2+z^2}}$ が大きな $\lvert z\rvert$ で対数発散する。これはこの章の泡の図 $B$ と同じ対数発散である。

正則化は2通りできる。線の長さを $2L$ に限ると（切断）

$$\phi_L(r)=\frac{\lambda_{\mathrm e}}{4\pi\varepsilon_0}\,2\operatorname{arsinh}\frac{L}{r}=\frac{\lambda_{\mathrm e}}{2\pi\varepsilon_0}\Bigl[\ln\frac{2L}{r}+\mathcal{O}\Bigl(\frac{r^2}{L^2}\Bigr)\Bigr].\tag{5.9.25}$$

線の方向の次元を $1-\epsilon$ にすると（次元正則化。$\int\mathrm{d}^nz\,(r^2+z^2)^{-1/2}=\pi^{n/2}\Gamma(\frac{1-n}{2})r^{n-1}/\Gamma(\frac12)$ を $n=1-\epsilon$ で使う）

$$\phi_\epsilon(r)=\frac{\lambda_{\mathrm e}}{4\pi\varepsilon_0}\,\pi^{-\epsilon/2}\Gamma\Bigl(\frac\epsilon2\Bigr)(\mu r)^{-\epsilon}=\frac{\lambda_{\mathrm e}}{2\pi\varepsilon_0}\Bigl[\frac1\epsilon-\frac{\gamma_{\mathrm E}}2-\ln\bigl(\sqrt\pi\,\mu r\bigr)\Bigr]+\mathcal{O}(\epsilon)\tag{5.9.26}$$

になる（$\mu$ は次元を合わせる長さの逆数）。3つの式 (5.9.24)・(5.9.25)・(5.9.26) は、$\ln r_0\leftrightarrow\ln2L\leftrightarrow\frac1\epsilon-\frac{\gamma_{\mathrm E}}2-\ln(\sqrt\pi\mu)$ という定数の読み替えで一致する。授業の「基準点 $r_0$」は正則化のパラメータの役をしていた。

測れるものは2点の電位差と電場で、どちらも正則化によらない。電場 $E=-\partial\phi/\partial r$ は電位を外のパラメータ $r$ で1回微分したもので、被積分関数が $\lvert z\rvert ^{-3}$ で減るので積分は収束する。これは命題 5.9.3 の「微分すると収束する」と同じ仕組みである。

点電荷の自己エネルギー

半径 $a$ の球殻に電荷 $q$ を一様に置くと、静電エネルギーは $U=q^2/(8\pi\varepsilon_0a)$ で、$a\to0$ で1次の発散をする。授業では「電子に有限の大きさを仮定する」ことがあり、$U=m_{\mathrm e}c^2$ とおくと $a=r_{\mathrm e}/2$（$r_{\mathrm e}=e^2/(4\pi\varepsilon_0m_{\mathrm e}c^2)=2.818\,\mathrm{fm}$ は古典電子半径。CODATA 2018 の定数から計算）になる。半径 $a$ は切断 $\Lambda\sim1/a$ に当たる。

同じ量を Fourier 空間で書くと $U=\frac12\int\frac{\mathrm{d}^3k}{(2\pi)^3}\frac{q^2}{\varepsilon_0k^2}$ で、被積分関数は $k$ のべきだけで質量の次元を持つ量を含まない。5.9.4節で見たとおり、次元正則化ではこの積分は $0$ になる。1次の発散は2乗の発散と同じく「次数を持つ多項式の0次の項」で、次元正則化では見えない。点電荷の自己エネルギーは、電子の質量の測った値に吸い込まれる量であって、それだけを取り出して測ることはできない。量子電磁気学では、電子の自己エネルギーの発散は1次から対数へ弱まり、質量の補正は電子の質量に比例する（第5部第10章で結果を引く）。

Casimir 効果の $\sum n=-1/12$

第5部第3章（第5部第3章）では、2枚の壁の間の零点エネルギーを指数の切断 $\mathrm{e}^{-n\xi}$ で正則化し、$\sum_{n\ge1}n\mathrm{e}^{-n\xi}=1/\xi^2-1/12+\mathcal{O}(\xi^2)$ から Casimir 力を出した。$1/\xi^2$ の項は壁の間隔に比例する体積のエネルギーで、壁の外の同じ量と打ち消すので力に入らない。力を決めるのは $-1/12$ である。ここで切断の関数を取り替えても $-1/12$ が変わらないことを確かめる。

切断の関数を $g(n\xi)$（$g(0)=1$、滑らかで速く減る）とすると、Euler–Maclaurin の公式$\sum_{n\ge1}f(n)=\int_0^\infty f\,\mathrm{d} n-\frac12f(0)-\sum_{k\ge1}\frac{B_{2k}}{(2k)!}f^{(2k-1)}(0)$（$B_{2k}$ は Bernoulli 数、$B_2=1/6$）を $f(n)=ng(n\xi)$ に当てて

$$\sum_{n\ge1}n\,g(n\xi)=\frac{C_g}{\xi^2}-\frac{1}{12}+\mathcal{O}(\xi^2),\qquad C_g=\int_0^\infty xg(x)\,\mathrm{d} x\tag{5.9.27}$$

を得る（$f(0)=0$、$f'(0)=g(0)=1$ で $-\frac{B_2}{2}f'(0)=-\frac1{12}$）。$\xi^{-2}$ の係数 $C_g$ は $g$ によるが、$-1/12$ はよらない。解析接続で定めた Riemann のゼータ関数の値 $\zeta(-1)=-1/12$ は、$\sum n^{-s}$ を $s$ について延長して $s=-1$ の値を読むもので、次元正則化と同じ考え方の正則化である。ゼータ関数では $1/\xi^2$ に当たる項がはじめから現れない点も、次元正則化で $\Lambda^2$ が現れないことと同じである。

対応の表