この章のまとめ

(1) $s$ チャンネルの図は、2つの頂点（各 $-\mathrm{i}\lambda$）を2本の内線でつなぐ。2本の内線を入れ替えても同じ図なので対称因子は $2$ で、$1/2$ が掛かる。Minkowski の積分 $\int\frac{\mathrm{d}^4\ell}{(2\pi)^4}\frac{\mathrm{i}}{\ell^2-m^2}\frac{\mathrm{i}}{(\ell+p)^2-m^2}$ は、伝播関数の分子 $\mathrm{i}\cdot\mathrm{i}=-1$、Wick 回転の測度 $\mathrm{i}$、分母の符号 $(-1)^2=1$ をまとめて $-\mathrm{i} B(p)$ になる。したがって $\mathrm{i}\mathcal M_s=\frac12(-\mathrm{i}\lambda)^2(-\mathrm{i} B)=\frac{\mathrm{i}\lambda^2}{2}B$、$\mathcal M_s=\frac{\lambda^2}{2}B(p_s)$。$t$, $u$ も同じで、木の項 $\mathrm{i}\mathcal M=-\mathrm{i}\lambda$ と合わせて (5.9.6) を得る。Euclid の運動量で $p_s^2+p_t^2+p_u^2=(p_1+p_2)^2+(p_1-p_3)^2+(p_1-p_4)^2$ を展開し、運動量の保存 $p_4=p_1+p_2-p_3$ を使うと $\sum_ip_i^2$ に等しい（Minkowski の $s+t+u=\sum m_i^2$ の Euclid 版）。すべての $p_i^2$ が等しく3つのチャンネルが $P^2$ なら $3P^2=4p_i^2$、$p_i^2=\frac34P^2$。

(2) 表面的発散次数は $D=4-4=0$。$p$ で微分すると被積分関数の減り方が1次速くなり、$D=-1$ で収束する（命題 5.9.3 の証明の1段目）。(5.9.8) を $p^2$ で微分すると、$\frac{\partial }{\partial p^2}\frac{1}{(\ell^2+\Delta)^2}=-\frac{2x(1-x)}{(\ell^2+\Delta)^3}$ で、$\ell$ の積分は収束して公式 (5.9.10)（$d=4$, $n=3$）から

$$\frac{\partial B}{\partial p^2}=-\int_0^1\mathrm{d} x\,\frac{2x(1-x)}{32\pi^2\Delta}=-\frac{1}{16\pi^2}\int_0^1\frac{x(1-x)\,\mathrm{d} x}{m^2+x(1-x)p^2}.$$

$p=0$ では $-\frac{1}{16\pi^2}\cdot\frac{1}{6m^2}$。$m\to0$ では $-\frac{1}{16\pi^2p^2}$ で、どちらの正則化も使っていない。

(3) $m\to0$ で $\Delta=x(1-x)P^2$。切断では (5.9.13) の1行目から $16\pi^2B_\Lambda=\int_0^1[\ln(\Lambda^2/\Delta)-1]\mathrm{d} x$ で、$\int_0^1\ln(x(1-x))\mathrm{d} x=-2$ を使うと$\ln(\Lambda^2/P^2)+2-1=\ln(\Lambda^2/P^2)+1$。次元正則化では (5.9.19) の導出と同じく $16\pi^2\mu^\epsilon B_d=\frac2\epsilon-\gamma_{\mathrm E}+\ln4\pi-\int_0^1\ln(\Delta/\mu^2)\mathrm{d} x=\frac2\epsilon-\gamma_{\mathrm E}+\ln4\pi+\ln(\mu^2/P^2)+2$。対称点で3つのチャンネルが等しいので $\lambda(P)=-\mathcal M=\lambda-\frac{3\lambda^2}{2}B(P)$。差をとると、切断では

$$\lambda(P_2)-\lambda(P_1)=-\frac{3\lambda^2}{2}\cdot\frac{1}{16\pi^2}\Bigl[\ln\frac{\Lambda^2}{P_2^2}-\ln\frac{\Lambda^2}{P_1^2}\Bigr]=\frac{3\lambda^2}{32\pi^2}\ln\frac{P_2^2}{P_1^2}=\frac{3\lambda^2}{16\pi^2}\ln\frac{P_2}{P_1}$$

で、$\Lambda$ と定数 $+1$ が消える。次元正則化でも $\frac2\epsilon-\gamma_{\mathrm E}+\ln4\pi+\ln\mu^2+2$ が消えて同じ式になる。泡の図の $D=0$ によって、正則化の違いは $\lambda$ に足される定数だけで、2つの運動量での差には残らない（5.9.5節）。

(4) $\lambda^2$ の次数では右辺の $\lambda$ を $\lambda(P_1)$ に置き換えてよく（違いは $\lambda^3$）、$\lambda(10P_1)=1.0+\frac{3}{16\pi^2}\ln10=1.0+0.0190\times2.303=1.044$。$\ln P$ で微分すると

$$\frac{\mathrm{d}\lambda(P)}{\mathrm{d}\ln P}=\frac{3\lambda(P)^2}{16\pi^2}+\mathcal{O}(\lambda^3)>0$$

で、運動量が上がると結合は強くなる。この右辺が $\phi^4$ 理論の1ループの $\beta$ 関数で、係数の $1/(16\pi^2)$ は、(3) で正則化によらなかった対数の係数そのものである。$\lambda=1$ では $3/(16\pi^2)=0.0190$ と小さいので、運動量が10倍になっても結合は4%ほどしか変わらない。$\beta$ 関数の意味と、統計力学の臨界現象との対応は第5部第11章で扱う。