当てる道具：Euclid 化・Feynman パラメータ・$\Gamma$ 関数

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第5部 第9章 §5.9.2　★★★ 虚時間への回転で積分を正の量にし、分母を1つにまとめ、$\int\mathrm{d}^d\ell\,(\ell^2+\Delta)^{-n}$ を $\Gamma$ 関数で書く。この公式が $d$ について解析的であることが次元正則化の出発点

Wick 回転は虚時間への回転

5.9.1節で使った $\ell^0=\mathrm{i}\ell^4$ の置き換えの根拠を述べる。伝播関数 $\mathrm{i}/(\ell^2-m^2+\mathrm{i}0)$ の分母を $\ell^0$ の関数とみると、$\omega_{\bm{\ell}}=\sqrt{\lvert \bm{\ell}\rvert ^2+m^2}$ として極は $\ell^0=\omega_{\bm{\ell}}-\mathrm{i}0$ と $\ell^0=-\omega_{\bm{\ell}}+\mathrm{i}0$ にある。1つ目は第4象限、2つ目は第2象限にあるので、実軸の上の $\ell^0$ の積分路を原点のまわりに反時計回りに $90^\circ$ 回すと、積分路が通過する第1象限と第3象限には極が無い（図 5.9.1）。被積分関数が大きな $\lvert \ell^0\rvert$ で十分速く減るなら、無限遠の円弧の寄与は $0$ で、実軸の積分は虚軸の積分に等しい。虚軸の上で $\ell^0=\mathrm{i}\ell^4$ とおけば $\ell^4$ は実数を動く。

この置き換えは、時間 $t$ を $t=-\mathrm{i}\tau$ と虚時間にした操作の運動量版である。第5部第1章（第5部第1章）では、$\mathrm{e}^{-\mathrm{i} Ht}$ を$t=-\mathrm{i}\tau$ で $\mathrm{e}^{-H\tau}$ に変え、量子統計の $\mathrm{e}^{-\beta H}$ を虚時間の時間発展として読んだ。$\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\ell^0t}$ で $t=-\mathrm{i}\tau$、$\ell^0=\mathrm{i}\ell^4$ とおくと$\ell^0t=\ell^4\tau$ で位相は実のまま保たれ、Minkowski の $\ell^2$ が負定値の $-\ell_{\mathrm E}^2$ に、$\mathrm{e}^{\mathrm{i} S}$ が $\mathrm{e}^{-S_{\mathrm E}}$ になる。Euclid の積分は、統計力学の分配関数と同じ形の、被積分関数が正の積分である。

Feynman パラメータ

泡の図 $B(p)$ は分母が2つの積なので、大きな $\ell$ での振る舞いと $p$ への依存が混ざっている。分母を1つにまとめる恒等式

$$\frac{1}{ab}=\int_0^1\frac{\mathrm{d} x}{[xa+(1-x)b]^2}\qquad(a,b>0)\tag{5.9.7}$$

を使う（$xa+(1-x)b$ を $x$ で微分すると $a-b$ なので、右辺は $\bigl[-\frac{1}{(a-b)(xa+(1-x)b)}\bigr]_0^1=\frac{1}{a-b}\bigl(\frac1b-\frac1a\bigr)=\frac1{ab}$）。$x$ をFeynman パラメータと呼ぶ。$a=(\ell+p)^2+m^2$, $b=\ell^2+m^2$ とおくと $xa+(1-x)b=(\ell+xp)^2+x(1-x)p^2+m^2$ なので、積分変数を $\ell\to\ell-xp$ とずらして

$$B(p)=\int_0^1\mathrm{d} x\int\frac{\mathrm{d}^4\ell}{(2\pi)^4}\frac{1}{(\ell^2+\Delta)^2},\qquad \Delta\coloneqq m^2+x(1-x)p^2\tag{5.9.8}$$

を得る。外の運動量 $p$ は $\Delta$ の中だけに入り、ループ運動量の積分は球対称になった。ただし、ずらし $\ell\to\ell-xp$ が許されるかどうかは、積分が発散している以上、正則化の方法によって答えが違う（5.9.3節）。

$d$ 次元の積分の公式

球対称な積分を $d$ 次元で一度に計算しておく。出発点は Gauss 積分 $\int\mathrm{d}^d\ell\,\mathrm{e}^{-t\ell^2}=(\pi/t)^{d/2}$（1次元の積の $d$ 乗）と、$\Gamma$ 関数の定義から出る Schwinger の表示

$$\frac{1}{(\ell^2+\Delta)^n}=\frac{1}{\Gamma(n)}\int_0^\infty\mathrm{d} t\,t^{n-1}\mathrm{e}^{-t(\ell^2+\Delta)}\tag{5.9.9}$$

である。この2つから次の公式が出る（導出は例題 5.9.2）。

被積分関数が $\ell^{-2n}$ で減り、測度が $\ell^{d-1}\mathrm{d}\ell$ なので、収束の条件は $d<2n$ である。左辺は $d$ が整数のときにしか意味を持たないが、右辺は $d$ の関数として $\Gamma(n-d/2)$ の極（$d=2n,2n+2,\dots$）を除く複素平面全体で解析的である。この右辺で左辺を $d$ について延長するのが 5.9.4節の次元正則化である。$d$ 次元の単位球面の面積 $S_{d-1}=2\pi^{d/2}/\Gamma(d/2)$ も同じ Gauss 積分から出て、$d=2,3,4$ で $2\pi$, $4\pi$, $2\pi^2$ になる。