出てくるもの2：次元正則化

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第5部 第9章 §5.9.4　★★★ 時空の次元 $d$ を連続な数とみて公式 (5.9.10) で積分を定義する。発散は $d=4$ の極 $2/\epsilon$ になり、2乗の発散は見えず、ゲージ不変性が保たれる

次元を連続にする

5.9.2節の公式 (5.9.10) の右辺は、$d$ について $\Gamma(n-d/2)$ の極を除いて解析的だった。次元正則化では、ループ積分を $d$ 次元で行うと宣言し、その値を (5.9.10) の右辺で定める。$d<2n$ の範囲では本物の積分と一致し、それ以外の $d$ では解析接続で値が決まる。正則化のパラメータは

$$\epsilon\coloneqq4-d\tag{5.9.17}$$

で、$\epsilon\to0$ が元の4次元の理論である（第5部第11章の $\epsilon$ 展開と同じ記号を使う）。

$d$ 次元では作用 $S=\int\mathrm{d}^dx\,\mathcal L$ を無次元に保つために、$\phi$ が質量の $(d-2)/2$ 乗、$\lambda$ が質量の $4-d=\epsilon$ 乗の次元を持つ。$\lambda$ を無次元のまま使うため、質量の次元を持つ量 $\mu$ を1つ導入して結合を $\lambda\mu^{\epsilon}$ と書く。$\mu$ は切断 $\Lambda$ と違って積分の範囲を制限しないが、次元を合わせるために必ず入り、対数の中に $\ln\mu^2$ として現れる。

$\Gamma$ 関数を $0$ の近くで展開した

$$\Gamma\Bigl(\frac\epsilon2\Bigr)=\frac2\epsilon-\gamma_{\mathrm E}+\mathcal{O}(\epsilon),\qquad \Gamma\Bigl(-1+\frac\epsilon2\Bigr)=-\frac2\epsilon-1+\gamma_{\mathrm E}+\mathcal{O}(\epsilon)\tag{5.9.18}$$

（$\gamma_{\mathrm E}=0.5772\ldots$ は Euler の定数）と $(4\pi)^{-d/2}=(4\pi)^{-2}(1+\frac\epsilon2\ln4\pi+\cdots)$、$\Delta^{-\epsilon/2}=1-\frac\epsilon2\ln\Delta+\cdots$ を使うと、泡の図 (5.9.8) は

$$\mu^{\epsilon}B_d(p)=\frac{1}{16\pi^2}\Bigl[\frac2\epsilon-\gamma_{\mathrm E}+\ln4\pi+\ln\frac{\mu^2}{m^2}-F\Bigl(\frac{p^2}{m^2}\Bigr)\Bigr]+\mathcal{O}(\epsilon)\tag{5.9.19}$$

になる。$p$ への依存 $-F$ はここでも同じで、$\ln\Lambda^2-1$ や $\ln M^2$ があった位置に $2/\epsilon-\gamma_{\mathrm E}+\ln4\pi+\ln\mu^2$ が入った。対数の発散 $\ln\Lambda^2$ が、$d=4$ の1位の極 $2/\epsilon$ に置き換わっている。

2乗の発散は見えない

おたまじゃくし $A$ を同じように計算すると（例題 5.9.4）

$$\mu^{\epsilon}A_d=-\frac{m^2}{16\pi^2}\Bigl[\frac2\epsilon+1-\gamma_{\mathrm E}+\ln\frac{4\pi\mu^2}{m^2}\Bigr]+\mathcal{O}(\epsilon)\tag{5.9.20}$$

で、切断の (5.9.12) にあった $\Lambda^2$ に当たる項が無い。全体が $m^2$ に比例するので、$m\to0$ で質量の補正は $0$ になる。2乗の発散が消えたのは、次元正則化が質量の次元を持つ量を $m$ と $\mu$ しか持たず、$\mu$ は $\mu^\epsilon$ の形で対数の中にしか入らないためである。図 5.9.2 の言葉では、2乗の発散は $d=2$ の極（$\Gamma(1-d/2)$ の $d=2$ での極）に移り、$d=4$ の近くでは見えない。

同じ理由で、質量の次元を持つ量を1つも含まない積分は次元正則化で $0$ になる。たとえば $\int\mathrm{d}^d\ell\,\ell^{-4}$ を $\lvert \ell\rvert =\kappa$ で2つに分けると、大きな $\ell$ の側 $\int_\kappa^\infty\ell^{d-5}\mathrm{d}\ell=\kappa^{d-4}/(4-d)$ は $d<4$ で収束し、小さな $\ell$ の側 $\int_0^\kappa\ell^{d-5}\mathrm{d}\ell=\kappa^{d-4}/(d-4)$ は $d>4$ で収束する。それぞれを解析接続して足すと $0$ である。紫外の極と赤外の極が打ち消し合っているので、この「$0$」は発散が無いことを意味しない。5.9.5節の性質と組み合わせて、どちらの極がどの物理量に入るかを追う必要がある。

ゲージ不変性を保つ

次元正則化が対称性を保つ例を、荷電スカラー場と電磁場の理論（スカラー QED）で見る。第5部第5章で局所的な位相の変換から共変微分 $D_\alpha=\partial_\alpha+\mathrm{i} qA_\alpha$ を導いた（この節では4元の添字を $\alpha,\beta$ と書く）。$\lvert D_\alpha\phi\rvert ^2$ を展開すると、光子1本と荷電粒子2本の頂点 $-\mathrm{i} q(k+k')^\alpha$（$k,k'$ は荷電粒子の運動量）と、光子2本と荷電粒子2本の頂点 $2\mathrm{i} q^2\eta^{\alpha\beta}$ が出る。光子の2点関数への1ループの補正 $\mathrm{i}\Pi^{\alpha\beta}(k)$ は、荷電粒子が回る泡の図と、2本の光子が1つの頂点につく図の和である。外の光子の運動量 $k=0$ で、この2つの図は

$$\mathrm{i}\Pi^{\alpha\beta}(0)=q^2\int\frac{\mathrm{d}^4\ell}{(2\pi)^4}\Bigl[\frac{4\ell^\alpha\ell^\beta}{(\ell^2-m^2+\mathrm{i}0)^2}-\frac{2\eta^{\alpha\beta}}{\ell^2-m^2+\mathrm{i}0}\Bigr]\tag{5.9.21}$$

を与える。ゲージ不変性から出る Ward の恒等式は $\Pi^{\alpha\beta}(k)=(k^2\eta^{\alpha\beta}-k^\alpha k^\beta)\Pi(k^2)$ の形を要求するので、$\Pi^{\alpha\beta}(0)=0$ でなければならない。$\Pi^{\alpha\beta}(0)\ne0$ は光子が質量を持つことを意味する。