出てくるもの1：運動量の切断と Pauli–Villars 型の差し引き

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第5部 第9章 §5.9.3　★★ 積分の上限 $\Lambda$ で打ち切ると $A$ は $\Lambda^2$、$B$ は $\ln\Lambda^2$ で増える。直観に合うが、積分変数のずらしで値が変わり、ゲージ不変性を壊す

切断

いちばん素朴な正則化は、Euclid の運動量の大きさに上限を置いて $\lvert \ell\rvert <\Lambda$ で積分を打ち切る切断である。$A$ と $p=0$ の $B$ は、第5部第8章の式 (5.8.16)・(5.8.17) で切断して求めた。この章の記号で $A$ を書き写すと

$$A_\Lambda=\frac{1}{8\pi^2}\int_0^\Lambda\frac{\ell^3\mathrm{d}\ell}{\ell^2+m^2}=\frac{1}{16\pi^2}\Bigl[\Lambda^2-m^2\ln\Bigl(1+\frac{\Lambda^2}{m^2}\Bigr)\Bigr]\tag{5.9.12}$$

で、$\Lambda\gg m$ では $\Lambda^2$ の項と $m^2\ln\Lambda^2$ の項が増える。2乗の発散は「1ループの質量の補正 $\Pi=\lambda A/2$ が、場の質量ではなく切断の大きさで決まる」ことを意味する。これはスカラー場の質量を小さく保つことの難しさ（階層性の問題）として知られる性質で、正則化の方法によって見え方が変わる（5.9.4節）。

泡の図は、$p\neq0$ でも使えるように、Feynman パラメータでまとめた (5.9.8) のずらした後の変数で切断をかける（$p=0$ では第8章の (5.8.17) に戻る）。$\Lambda\gg m$ で展開して他の正則化と比べる形にすると

$$B_\Lambda(p)=\frac{1}{16\pi^2}\int_0^1\mathrm{d} x\Bigl[\ln\Bigl(1+\frac{\Lambda^2}{\Delta}\Bigr)-\frac{\Lambda^2}{\Lambda^2+\Delta}\Bigr] =\frac{1}{16\pi^2}\Bigl[\ln\frac{\Lambda^2}{m^2}-1-F\Bigl(\frac{p^2}{m^2}\Bigr)\Bigr]+\mathcal{O}\Bigl(\frac{m^2}{\Lambda^2},\frac{p^2}{\Lambda^2}\Bigr)\tag{5.9.13}$$

になる。ここで

$$F(z)\coloneqq\int_0^1\ln\bigl(1+x(1-x)z\bigr)\,\mathrm{d} x=\beta\ln\frac{\beta+1}{\beta-1}-2,\qquad \beta=\sqrt{1+4/z}\tag{5.9.14}$$

は外の運動量への依存を表す関数で、$F(0)=0$、小さな $z$ で $F(z)\approx z/6$、大きな $z$ で $F(z)\approx\ln z-2$ である（閉じた形は $x$ の積分を部分積分して得られる）。

切断は積分変数のずらしで値を変える

(5.9.13) では、ずらした後の変数 $\ell+xp$ に切断をかけた。ずらす前の $\ell$ に切断をかけると、境界の球がずれる分だけ値が違う。泡の図は対数発散なので、その違いは $\mathcal{O}(p^2/\Lambda^2)$ で $\Lambda\to\infty$ で消える。ところが1次の発散をする積分では、ずらしによる違いが $\Lambda\to\infty$ でも有限に残る。1次元の例で見るのが早い（例題 5.9.3）。4次元では、$f_\alpha(\ell)=\ell_\alpha/(\ell^2+m^2)^2$ のように $\ell^{-3}$ で減るベクトルの積分について、

$$\int_{\lvert \ell\rvert <\Lambda}\mathrm{d}^4\ell\,\bigl[f_\alpha(\ell+a)-f_\alpha(\ell)\bigr]\ \xrightarrow{\ \Lambda\to\infty\ }\ a_\beta\oint_{\lvert \ell\rvert =\Lambda}\mathrm{d} S_\beta\,f_\alpha=a_\beta\int\mathrm{d}\Omega\,n_\alpha n_\beta=\frac{\pi^2}{2}a_\alpha\tag{5.9.15}$$

になる。$f(\ell+a)-f(\ell)\approx a_\beta\partial_\beta f$ の積分は Gauss の定理で無限遠の球面の積分になり、$f_\alpha\sim n_\alpha/\Lambda^3$ と面積 $\Lambda^3\mathrm{d}\Omega$ が打ち消し合って有限の値が残る（4次元の球面の上で $n_\alpha n_\beta$ の平均は $\delta_{\alpha\beta}/4$、面積は $2\pi^2$）。積分変数を定数だけずらしても値が変わらないという、収束する積分では当たり前の性質が、切断のもとでは成り立たない。ゲージ理論では、どの変数で切断したかによってこの種の項が現れ、保存するはずの電流に見かけの破れが入る。

Pauli–Villars 型の差し引き

もう1つの古典的な方法は、質量 $M$ の重い粒子が回る同じ図を引く方法である。泡の図なら

$$B_M(p)\coloneqq B(p;m)-B(p;M)=\frac{1}{16\pi^2}\int_0^1\mathrm{d} x\ln\frac{M^2+x(1-x)p^2}{\Delta}=\frac{1}{16\pi^2}\Bigl[\ln\frac{M^2}{m^2}-F\Bigl(\frac{p^2}{m^2}\Bigr)\Bigr]+\mathcal{O}\Bigl(\frac{p^2}{M^2}\Bigr)\tag{5.9.16}$$

で、差の被積分関数は大きな $\ell$ で $(M^2-\Delta)/\ell^6$ のように減るので、引き算の後は切断なしで収束する。重い粒子の図は $M\to\infty$ で低い運動量の物理から切り離されるので、(ii) の要求を満たす。被積分関数の形を保ったまま差し引くので、切断と違って積分変数のずらしで値が変わらず、ゲージ不変性も保つことができる（名前は、この方法を量子電磁気学の計算に導入した W. Pauli と F. Villars による）。ただし2乗の発散を持つ $A$ は、質量の違う重い粒子を2つ以上引かないと有限にならない。

(5.9.13) と (5.9.16) を比べると、$\ln\Lambda^2-1$ と $\ln M^2$ が同じ位置にあり、$p$ への依存 $-F(p^2/m^2)$ は同じ形である。この一致は偶然でなく、5.9.5節で一般の形で示す。