出てくるもの (1)：ループ積分と紫外発散

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第5部 第8章 §5.8.3　★★★ Wick 回転で Euclid の積分にし、カットオフ $\Lambda$ で測るとタッドポールは $\Lambda^2$、泡は $\ln\Lambda$ で発散する。発散は同じ点に伝播関数が重なる短距離から生じ、外の運動量や質量で微分すると次数が下がる

Wick 回転

(5.8.5) と (5.8.6) の積分は Minkowski の運動量の上での積分で、被積分関数は $k^2=m^2$ の殻の近くで特異になる。これを扱いやすい形に直す。$k^0$ の積分で見ると、伝播関数の極は $k^0=\pm(\omega_{\bm{k}}-\mathrm{i}\epsilon)$（$\omega_{\bm{k}}=\sqrt{\bm{k}^2+m^2}$）にあり、正の極は第4象限、負の極は第2象限に少しずれている。$k^0$ の積分路を実軸から虚軸まで反時計回りに $90^\circ$ 回すと、積分路は第1象限と第3象限だけを掃くので極をまたがない。回した後の虚軸の上で $k^0=\mathrm{i} k^4_{\mathrm E}$ とおくと

$$\mathrm{d}^4k=\mathrm{i}\,\mathrm{d}^4k_{\mathrm E},\qquad k^2=(k^0)^2-\bm{k}^2=-k_{\mathrm E}^2,\qquad k_{\mathrm E}^2=(k^4_{\mathrm E})^2+\bm{k}^2\ge0\tag{5.8.13}$$

になる。これを Wick 回転と呼ぶ。Euclid の運動量 $k_{\mathrm E}$ では伝播関数 $1/(k_{\mathrm E}^2+m^2)$ は正で特異点を持たず、積分は4次元の Euclid 空間の普通の積分になる。$\int\mathrm{d}^4k_{\mathrm E}$ は動径 $\lvert k_{\mathrm E}\rvert$ と3次元の単位球面 $S^3$ の上の積分に分かれ、$S^3$ の面積は $2\pi^2$ なので、$k_{\mathrm E}^2$ だけによる関数については $\int\mathrm{d}^4k_{\mathrm E}=2\pi^2\int_0^\infty k^3\,\mathrm{d} k$ である（以下、$k=\lvert k_{\mathrm E}\rvert$）。

(5.8.13) を代入すると $\mathrm{i}\cdot\frac{\mathrm{i}}{-k_{\mathrm E}^2-m^2}=\frac{1}{k_{\mathrm E}^2+m^2}$、$\mathrm{i}\cdot\bigl(\frac{\mathrm{i}}{-k_{\mathrm E}^2-m^2}\bigr)^2=-\frac{\mathrm{i}}{(k_{\mathrm E}^2+m^2)^2}$ なので、(5.8.5) と (5.8.6)（外の運動量をすべて $0$ にしたもの）は、2つの Euclid の積分

$$A\coloneqq\int\frac{\mathrm{d}^4k_{\mathrm E}}{(2\pi)^4}\frac{1}{k_{\mathrm E}^2+m^2},\qquad B\coloneqq\int\frac{\mathrm{d}^4k_{\mathrm E}}{(2\pi)^4}\frac{1}{(k_{\mathrm E}^2+m^2)^2}\tag{5.8.14}$$

で書けて、

$$\Sigma_1=\frac{\lambda}{2}A,\qquad \lambda_{\mathrm{eff}}\coloneqq-\mathcal M\big|_{p_i=0}=\lambda-\frac{3\lambda^2}{2}B\tag{5.8.15}$$

になる。$\Sigma_1>0$ は質量の2乗を押し上げる向きの補正で、$\lambda_{\mathrm{eff}}$ は外の運動量が $0$ のところで測った4点の結合の強さである。

カットオフで測る

$A$ も $B$ も $k\to\infty$ で発散するので、一時的に $k<\Lambda$ で積分を打ち切って発散の強さを測る。$u=k^2$ とおくと

$$\begin{align*}A&=\frac{2\pi^2}{(2\pi)^4}\int_0^\Lambda\frac{k^3\,\mathrm{d} k}{k^2+m^2}=\frac{1}{16\pi^2}\Bigl[\Lambda^2-m^2\ln\Bigl(1+\frac{\Lambda^2}{m^2}\Bigr)\Bigr],\tag{5.8.16}\\B&=\frac{2\pi^2}{(2\pi)^4}\int_0^\Lambda\frac{k^3\,\mathrm{d} k}{(k^2+m^2)^2}=\frac{1}{16\pi^2}\Bigl[\ln\Bigl(1+\frac{\Lambda^2}{m^2}\Bigr)-\frac{\Lambda^2}{\Lambda^2+m^2}\Bigr]\tag{5.8.17}\end{align*}$$

を得る（$\frac{2\pi^2}{(2\pi)^4}=\frac1{8\pi^2}$、$\int_0^{\Lambda^2}\frac{u\,\mathrm{d} u}{2(u+m^2)}$ などを計算する）。$\Lambda\gg m$ では

$$A\approx\frac{\Lambda^2}{16\pi^2},\qquad B\approx\frac{1}{16\pi^2}\Bigl(2\ln\frac{\Lambda}{m}-1\Bigr)\tag{5.8.18}$$

で、タッドポールは $\Lambda^2$（2次発散）、泡は $\ln\Lambda$（対数発散）で発散する。$\Lambda\to\infty$ の極限は存在しないので、$\Sigma_1$ と $\lambda_{\mathrm{eff}}$ はそのままでは意味を持たない。これをどう読むかが第5部第10章のくりこみの主題で、この章は発散の強さを数えるところまでにする。

発散は短い距離から生じる

運動量の大きいところの発散は、位置の空間では短い距離の問題になる。Euclid の伝播関数 $G_{\mathrm E}(x)=\int\frac{\mathrm{d}^4k_{\mathrm E}}{(2\pi)^4}\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} k_{\mathrm E}\cdot x}}{k_{\mathrm E}^2+m^2}$は、$\lvert x\rvert \ll1/m$ では質量の無い場合の

$$G_{\mathrm E}(x)\approx\frac{1}{4\pi^2x^2}\tag{5.8.19}$$

に近づく（4次元の球対称な Fourier 変換は $\frac{1}{4\pi^2r}\int_0^\infty k^2J_1(kr)f(k)\,\mathrm{d} k$ で、$f=1/k^2$ では $\int_0^\infty J_1(kr)\,\mathrm{d} k=1/r$ を使う）。タッドポールの積分 $A$ は $G_{\mathrm E}(0)$ そのもの、すなわち同じ点での場の揺らぎ $\langle \phi(x)^2 \rangle$ で、$x\to0$ で $1/x^2$ のように発散する。泡は2つの頂点 $x$, $y$ を2本の伝播関数でつないだもので、$\int\mathrm{d}^4x\,G_{\mathrm E}(x)^2$ を含む。$x\to0$ の近くでは$\int2\pi^2r^3\,\mathrm{d} r\,\frac{1}{16\pi^4r^4}=\frac{1}{8\pi^2}\int\frac{\mathrm{d} r}{r}$ となり、短い距離の側で対数発散する。運動量の空間の $\ln\Lambda$ と位置の空間の $\ln(1/r_{\min})$ は同じものを見ている。点 $x$ で起きる相互作用 $\phi(x)^4$ は、場の揺らぎがどんなに短い波長でも同じ点でつながることを要求しており、ループの発散はその帰結である。

微分すると次数が下がる：発散は外の運動量の多項式

(5.8.16) と (5.8.17) の間には

$$\frac{\partial A}{\partial (m^2)}=-B\tag{5.8.20}$$

の関係がある。被積分関数を $m^2$ で微分すると $k$ の次数が2つ下がり、2次発散の $A$ から対数発散の $B$ になる。外の運動量についても同じことが起きる。泡の積分の外の運動量の依存 $B(P)$（$P$ は Euclid の4元運動量）で、$B(0)$ を引いたもの

$$B(0)-B(P)=\int\frac{\mathrm{d}^4k_{\mathrm E}}{(2\pi)^4}\,\frac{(k+P)^2-k^2}{(k^2+m^2)^2((k+P)^2+m^2)}$$

は、分子が $k$ について1次低く、さらに $k\cdot P$ の項は角度で平均すると消えるので、被積分関数が $1/k^6$ で減って収束する。Feynman のパラメータの式 $\frac1{ab}=\int_0^1\frac{\mathrm{d} x}{[xa+(1-x)b]^2}$ で2つの分母をまとめて計算すると、$\Lambda\to\infty$ で

$$16\pi^2\bigl[B(0)-B(P)\bigr]\longrightarrow\int_0^1\ln\Bigl(1+x(1-x)\frac{P^2}{m^2}\Bigr)\mathrm{d} x\tag{5.8.21}$$

という有限の値になる。$P^2=m^2$ では右辺は $-2+\sqrt5\ln\frac{3+\sqrt5}{2}=0.1520$ である。図 5.8.2 は、ループの運動量 $\lvert k_{\mathrm E}\rvert <\Lambda$ で切って数値積分した $16\pi^2B(0)$ と $16\pi^2[B(0)-B(P)]$（$P^2=m^2$）を $\Lambda$ の関数として描いたもので、前者は $\ln\Lambda$ に比例して増え続け、後者は $\Lambda\approx10m$ でほぼ一定の値に落ち着く。

(5.8.21) から読み取れることは、発散する部分が外の運動量によらない定数だということである。泡の発散は $\lambda_{\mathrm{eff}}$ の定数のずれ、すなわち Lagrangian 密度の $\phi^4$ の項の係数のずれと同じ形をしている。一般に、外の運動量で1回微分するごとに発散の次数が1つ下がるので、発散する部分は外の運動量の多項式（位置の空間では1点に集中した局所的な項）になる。この性質があるから、発散を $\mathcal L$ の係数の取り直しで吸収するという第5部第10章の考え方が成り立つ。