出てくるもの (2)：表面的発散次数の数え方

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第5部 第8章 §5.8.4　★★★ $D(G)=d\ell-2I$ は場と結合定数の質量次元だけで $D=d-[\phi]E-V[\lambda]$ と書ける。4次元の $\phi^4$ では $D=4-E$ で、発散しうる振幅は外線 $0,2,4$ 本のものだけになる。結合定数の質量次元の符号が理論を3つに分ける

定義

5.8.1節の終わりの見込みを定義にする。$d$ 次元の時空のスカラー場の Feynman 図 $G$ について、すべてのループの運動量を一斉に $s$ 倍にしたとき、積分の測度は $s^{d\ell}$、伝播関数 $I$ 本は $s^{-2I}$ で変わる。この指数の和

$$D(G)\coloneqq d\ell-2I\tag{5.8.22}$$

を図 $G$ の表面的発散次数と呼ぶ。$D>0$ なら積分は $\Lambda^D$ で、$D=0$ なら $\ln\Lambda$ で発散しうる。$D<0$ なら、全部の運動量が一斉に大きくなる領域からの発散は無い。「表面的」と呼ぶのは、図の一部分だけの運動量が大きくなる領域を見ていないからで、その補正は5.8.5節で扱う。タッドポールは $D=4\cdot1-2\cdot1=2$、泡は $D=4-4=0$ で、(5.8.18) の $\Lambda^2$ と $\ln\Lambda$ に合っている。

$D$ は外線の数で決まる

$\phi^4$ 理論で (5.8.3) と (5.8.2) を (5.8.22) に入れて $\ell$ と $I$ を消すと

$$D=d(I-V+1)-2I=d-\frac{d-2}{2}E+(d-4)V\tag{5.8.23}$$

になる。$d=4$ では頂点の数の項が消えて

$$D=4-E\tag{5.8.24}$$

となる。4次元の $\phi^4$ 理論では、表面的発散次数は外線の数だけで決まり、何ループの図であるかによらない。

次元解析で読む

(5.8.23) の係数は、場と結合定数の質量次元で書き直すと意味がはっきりする。$\hbar=c=1$ では作用 $S=\int\mathcal L\,\mathrm{d}^dx$ は無次元で、$\mathrm{d}^dx$ の質量次元は $-d$ なので、$\mathcal L$ の質量次元は $d$ である。質量次元を $[\cdot]$ と書くと、運動項 $\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi$ から

$$[\phi]=\frac{d-2}{2},\qquad [\lambda]=d-4[\phi]=4-d\tag{5.8.25}$$

が出る。一般に $\phi^n$ の結合定数 $g_n$ は $[g_n]=d-n\frac{d-2}{2}$ である。これを使うと (5.8.23) は

$$D=d-[\phi]E-V[\lambda]\tag{5.8.26}$$

と書くことができる（$\phi^n$ の頂点でも同じ形になることを検算で確かめた）。右辺の $d-[\phi]E$ は、外線 $E$ 本の切断した振幅の質量次元である（例えば $d=4$ の4点の振幅 $\mathcal M$ は無次元、2点の $\Sigma$ は質量次元 $2$）。振幅は結合定数 $V$ 個の積に「質量の次元を持つ量」を掛けた形をしていて、残りの次元 $D=[\text{振幅}]-V[\lambda]$ をまかなえる量は、質量 $m$ と外の運動量とカットオフ $\Lambda$ しかない。$\Lambda$ がまかなえる最大の次数が $D$ である。

結合定数の次元が理論を分ける

(5.8.26) から、結合定数の質量次元の符号で理論は3つに分かれる。

• $[\lambda]>0$（$d<4$ の $\phi^4$ など）：頂点が増えるほど $D$ が下がる。発散しうる図は有限個しかない。超くりこみ可能と呼ぶ。
• $[\lambda]=0$（$d=4$ の $\phi^4$、$d=6$ の $\phi^3$、4次元の QED）：$D$ は外線の数だけで決まる。発散しうる図は無限個あるが、発散しうる振幅の種類（外線の数）は有限個である。くりこみ可能と呼ぶ。
• $[\lambda]<0$（$d=4$ の $\phi^6$ で $[g_6]=-2$、重力）：頂点が増えるほど $D$ が上がり、どの外線の数の振幅も十分高い次数で発散する。くりこみ不可能と呼ぶ。

重力の結合定数 $G$ は $\hbar=c=1$ で質量次元 $-2$ を持ち、$G=1/M_{\mathrm{Pl}}^2$ と書くと Planck 質量は $M_{\mathrm{Pl}}c^2=\sqrt{\hbar c^5/G}=1.22\times10^{19}\,\mathrm{GeV}$ である。くりこみ不可能な理論でも、エネルギー $E_{\mathrm{typ}}$ が $M_{\mathrm{Pl}}$ より十分低ければ、補正は $(E_{\mathrm{typ}}/M_{\mathrm{Pl}})^2$ の程度に小さく、有効理論として使うことができる。理論の分類の物理的な意味は第5部第11章のくりこみ群で、短い距離の情報を粗視化したときに結合定数がどう変わるかとして読み直す。

4次元の $\phi^4$ 理論に戻ると、(5.8.24) で $D\ge0$ になるのは $E=0,2,4$ だけである。$E$ が奇数の振幅は、$\mathcal L$ が $\phi\to-\phi$ で変わらないので $0$ になる。$E=0$（真空の図、$D=4$）は真空のエネルギーの定数のずれで、粒子の運動には現れない。$E=2$（$D=2$）の自己エネルギー $\Sigma(p^2)$ を $p^2$ で展開すると、$D=2$ の発散は定数項（$\Lambda^2$ と $\ln\Lambda$）と $p^2$ の係数（$\ln\Lambda$）に限られる（$p^2$ で1回微分すると次数が2つ下がり、2回微分すると収束する）。$E=4$（$D=0$）は定数項（$\ln\Lambda$）だけである。発散は結局、$\mathcal L$ の3つの係数（$\frac12m^2\phi^2$・$\frac12\partial_\mu\phi\partial^\mu\phi$・$\frac{\lambda}{4!}\phi^4$）と同じ形の3種類に限られ、これが第5部第10章で3つのくりこみの定数（質量・場の規格化・結合定数）を置けば足りる理由になる。