出てくるもの (3)：QED の発散と、数え方の例外

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第5部 第8章 §5.8.5　★★ QED では $D=4-\frac32E_\psi-E_\gamma$。表で $D\ge0$ の振幅のうち、Furry の定理とゲージ不変性とカイラル対称性によって次数が下がり、実際に発散するのは真空偏極・電子の自己エネルギー・頂点の3つ（いずれも対数）。部分図形の発散は Weinberg の定理で扱う

QED の数え方

第5部第5章の QED の Lagrangian 密度は、Dirac 場 $\psi$ と光子の場 $A_\mu$ を頂点 $-q\bar\psi\gamma^\mu\psi A_\mu$ でつないだものだった。頂点からは電子の線が2本と光子の線が1本出る。電子の伝播関数は $\frac{\mathrm{i}(\gamma^\mu k_\mu+m)}{k^2-m^2}$ で、大きい $k$ では $k^{-1}$ でしか減らない。光子の伝播関数（Feynman ゲージ）は $\frac{-\mathrm{i}\eta_{\mu\nu}}{k^2}$ で $k^{-2}$ である。電子の内線を $I_\psi$、光子の内線を $I_\gamma$、外線をそれぞれ $E_\psi$、$E_\gamma$ とすると、

$$D=4\ell-2I_\gamma-I_\psi,\qquad 2V=2I_\psi+E_\psi,\qquad V=2I_\gamma+E_\gamma,\qquad \ell=I_\psi+I_\gamma-V+1$$

で、$I_\psi$ と $I_\gamma$ と $\ell$ を消すと

$$D=4-\frac32E_\psi-E_\gamma\tag{5.8.27}$$

を得る。電荷 $q$ は4次元で無次元（$[\psi]=\frac32$、$[A_\mu]=1$ から $[q]=4-3-1=0$）なので、$D$ は頂点の数によらない。(5.8.26) と同じ構造である。$D\ge0$ になる振幅を表にすると次のようになる。

対称性による次数の低下

表の6つのうち、表面的発散次数どおりに発散するものは1つもない。次数が下がる仕組みは3つある。

1つ目は荷電共役の対称性である。QED は電子と陽電子を入れ替える変換（荷電共役 C）で変わらず、光子の場はこの変換で符号を変える。したがって光子の外線だけが奇数本ある振幅は $0$ になる（Furry の定理）。表の1行目と3行目が消える。

2つ目はゲージ不変性である。光子の2点関数 $\Pi^{\mu\nu}(k)$ は、電荷の保存 $\partial_\mu j^\mu=0$ の帰結として $k_\mu\Pi^{\mu\nu}=0$ を満たす（第2部第8章のゲージ不変性という制約を、量子論の振幅で言い直したもの）。Lorentz 不変性で使える2階のテンソルは $\eta^{\mu\nu}$ と $k^\mu k^\nu$ だけなので

$$\Pi^{\mu\nu}(k)=\bigl(k^2\eta^{\mu\nu}-k^\mu k^\nu\bigr)\Pi(k^2)\tag{5.8.28}$$

の形に限られる。外の運動量の2次が前に出たので、残りの $\Pi(k^2)$ の表面的発散次数は $2-2=0$ で、対数発散になる。$D=2$ のままなら $\Lambda^2\eta^{\mu\nu}$ という項が出て光子の質量の項になるはずだが、(5.8.28) はそれを禁じている。光と光の散乱も、4本の光子の外線それぞれについて同じ条件が付くので外の運動量が4つ前に出て、$D=0-4<0$ で有限になる。

3つ目はカイラル対称性である。電子の自己エネルギーは $D=1$ で、$\Lambda$ の1次の項は $\Sigma\supset a\Lambda$（定数）の形しか取ることができない。ところが $m=0$ の QED は $\psi\to\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta\gamma^5}\psi$ で変わらず、この対称性のもとで $\bar\psi\psi$ の形の質量の項は生じない。質量の補正は $m$ に比例するしかなく、$m\times\Lambda^0$ の次元を $\ln\Lambda$ がまかなうので、対数発散になる。結局、QED で実際に発散するのは図 5.8.3 の3つで、どれも対数発散である。

部分図形の発散と Weinberg の定理

$D(G)<0$ でも図が収束するとは限らない。例えば $\phi^4$ 理論の6点関数は (5.8.24) で $D=-2$ だが、6点の2ループの図（$V=4$, $I=5$）の中に4点の泡（$D=0$）が部分図形として入っていると、その泡の部分の運動量だけが大きくなる領域で対数発散する。全体を一斉に大きくする見方では、この領域は見えない。

正しい判定は、図 $G$ 自身だけでなく、$G$ のすべての部分図形 $\gamma$（内線の一部とそれにつながる頂点からなる図）について表面的発散次数を調べることである。Weinberg の定理は、すべての部分図形 $\gamma$（$G$ 自身を含む）で $D(\gamma)<0$ ならば Euclid の Feynman 積分は絶対収束することを述べる（S. Weinberg（1960）、Phys. Rev. 118、838）。逆に言えば、発散はいつも $D\ge0$ の部分図形に由来する。くりこみ可能な理論では $D\ge0$ の部分図形の外線の数は限られているので、部分図形の発散も3種類（$\phi^4$）や3種類（QED）の形をしていて、同じ係数の取り直しで吸収することができる。このことを全次数で示すのが第5部第10章で引用する BPHZ の定理である。表面的発散次数による QED の数え方は Dyson（1949）が最初に組み立てた（F. J. Dyson（1949）、Phys. Rev. 75、1736）。

最後に、表面的発散次数は運動量の大きい側（紫外）の発散だけを数えることを注意しておく。光子のように質量の無い粒子があると、運動量の小さい側で積分が発散すること（赤外発散）があり、これは $D$ では判定することができない。赤外発散は、検出器が分解できない軟らかい光子の放出を足し合わせると打ち消し合う別の種類の問題で、この章では扱わない。