授業で習った形との対応

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第5部 第8章 §5.8.6　★★ 零点エネルギーの和は真空の図（$D=4$）、点電荷の場のエネルギーの $1/a$ 発散は古典の自己エネルギー。QED では同じ量が $\ln\Lambda$ でしか発散しない。2次の摂動論の中間状態の和がループ積分に当たる

学部の授業では、場の理論の発散に、そうと名付けずに3つの場面で出会う。それぞれをこの章の言葉と並べる。この節の数値は SI に戻して書く。

零点エネルギーの和

第5部第3章では、電磁場を調和振動子の集まりとして量子化し、各モードが $\frac12\hbar\omega$ の零点エネルギーを持つことを見た。授業の書き方では、体積 $V_{\mathrm{box}}$ の箱の真空のエネルギーは $E_{\mathrm{vac}}=\sum_{\bm{k}}\frac12\hbar\omega_{\bm{k}}$ と書かれ、この和は発散する。質量の無いスカラー場1つ（$\omega=c\lvert \bm{k}\rvert$）で $\lvert \bm{k}\rvert <\Lambda$ に打ち切ると、エネルギー密度は（$\hbar=c=1$ で）

$$\frac{E_{\mathrm{vac}}}{V_{\mathrm{box}}}=\int_{\lvert \bm{k}\rvert <\Lambda}\frac{\mathrm{d}^3k}{(2\pi)^3}\,\frac{\lvert \bm{k}\rvert }{2}=\frac{\Lambda^4}{16\pi^2}\tag{5.8.29}$$

になる。これは外線の無い真空の図（$E=0$、$D=4$）の $\Lambda^4$ の発散と同じものである。固体のフォノンでは、格子定数 $a$ によって $\Lambda\sim\pi/a$ という物理的な上限が決まるので、零点エネルギーは有限で、結晶の結合エネルギーの一部として実際に測られる。場の理論では、そのような上限がどこにあるかが分かっていない。カットオフを物理的な格子の間隔と読むか、計算の足場と読むかの違いは、第5部第9章の主題になる。

点電荷の自己エネルギー

電磁気学の授業では、半径 $a$ の球殻に電荷 $e$ を一様に乗せたとき、球の外の電場のエネルギーが

$$U(a)=\int_a^\infty\frac{\varepsilon_0}{2}\Bigl(\frac{e}{4\pi\varepsilon_0r^2}\Bigr)^2 4\pi r^2\,\mathrm{d} r=\frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0a}\tag{5.8.30}$$

になることを習う。点電荷の極限 $a\to0$ では $1/a$ で発散する。運動量のカットオフ $\Lambda\sim\hbar/a$ の言葉では $\Lambda^1$ の発散で、古典の自己エネルギーは1次発散である。QED の電子の自己エネルギーは表面的発散次数が $1$ で、古典と同じ次数を持つが、5.8.5節のカイラル対称性のため実際には対数発散に弱まる。1ループの計算（この巻では行わず、第5部第10章でも結果だけを引く）の主要項は

$$\frac{\delta m}{m}=\frac{3\alpha}{2\pi}\ln\frac{\Lambda}{m}\tag{5.8.31}$$

である（$\alpha=e^2/(4\pi\varepsilon_0\hbar c)$。カットオフの入れ方によらない対数の係数だけを書いた）。電子の自己エネルギーが対数でしか発散しないことは、陽電子を含めた理論で Weisskopf（1939）が示した（V. F. Weisskopf（1939）、Phys. Rev. 56、72）。古典の電子は電子の周りの場だけを持つが、量子の電子の周りでは電子と陽電子の対が絶えず現れては消えていて、その対によって電子の電荷が短い距離で薄まることが、発散が弱まる物理的な理由である。

2次の摂動論

量子力学の授業の2次の摂動論では、エネルギーの補正は $E^{(2)}_0=\sum_{n\ne0}\frac{\lvert \langle n | H_1 | 0 \rangle \rvert ^2}{E_0-E_n}$ と書かれ、中間状態 $n$ についての和がある。準位が離散的で行列要素が速く減れば、この和は収束する。場の理論では中間状態に任意の運動量を持つ粒子が現れるので、和は運動量の積分になる。その積分が1ループの積分であり、中間状態のエネルギーの上限を設けないと発散しうる。水素原子の Lamb シフトを非相対論的な2次の摂動論で見積もった Bethe（1947）の計算では、光子の運動量の上限を電子の静止エネルギー $mc^2$ の程度に取り、発散する部分を自由電子の質量の補正として差し引いた（H. A. Bethe（1947）、Phys. Rev. 72、339）。2次の摂動論の中間状態の和と、ループ積分と、質量の取り直しが、ここですでに一続きのものとして現れている。