この章のまとめ

この章の道具

• $\phi^4$：$4V=E+2I$、$\ell=I-V+1$、$V=\ell+\frac E2-1$。$\phi^3$：$V=2\ell+E-2$。
• $\hbar$ を戻すと切断した図は $\hbar^{\ell-1}$。$W=\hbar\ln Z=-S(\phi_{\mathrm c})-\frac\hbar2\ln S''(\phi_{\mathrm c})+\mathcal{O}(\hbar^2)$。木＝古典解＝Legendre 変換。
• Wick 回転 $\mathrm{d}^4k=\mathrm{i}\,\mathrm{d}^4k_{\mathrm E}$、$k^2=-k_{\mathrm E}^2$、$\int\mathrm{d}^4k_{\mathrm E}=2\pi^2\int k^3\mathrm{d} k$。
• $A=\frac{1}{16\pi^2}[\Lambda^2-m^2\ln(1+\Lambda^2/m^2)]$、$B=\frac{1}{16\pi^2}[\ln(1+\Lambda^2/m^2)-\Lambda^2/(\Lambda^2+m^2)]$、$\partial A/\partial m^2=-B$。
• $\Sigma_1=\frac\lambda2A$、$\lambda_{\mathrm{eff}}=\lambda-\frac{3\lambda^2}{2}B$。$16\pi^2[B(0)-B(P)]\to\int_0^1\ln(1+x(1-x)P^2/m^2)\mathrm{d} x$（有限）。
• $D=d\ell-2I=d-[\phi]E-V[\lambda]$、$[\phi]=\frac{d-2}2$、$[\lambda]=4-d$。4次元の $\phi^4$ で $D=4-E$。
• QED：$D=4-\frac32E_\psi-E_\gamma$。$\Pi^{\mu\nu}=(k^2\eta^{\mu\nu}-k^\mu k^\nu)\Pi(k^2)$。発散は $\Pi$・$\Sigma$・$\Gamma^\mu$ の3つ（対数）。
• Weinberg の定理：すべての部分図形で $D(\gamma)<0$ なら収束。

総合問題　次元を変えた $\phi^4$ 理論と Ginzburg の判定条件 ★★★

オリジナル$d$ 次元の Euclid 空間の $\phi^4$ 理論 $\mathcal L_{\mathrm E}=\frac12(\partial\phi)^2+\frac12m^2\phi^2+\frac{\lambda}{4!}\phi^4$ を考える。統計力学の言葉では、これは第3部第10章の Ginzburg–Landau 汎関数で、$1/m$ が相関長 $\xi$、臨界点 $T\to T_{\mathrm c}$ は $m\to0$ に当たる。

1. (1) $[\phi]$ と $[\lambda]$ を $d$ で表し、表面的発散次数が $D=d-\frac{d-2}{2}E+(d-4)V$ になることを示せ。（使う道具：この章の5.8.1節と5.8.4節）
2. (2) $d=4$ で、外の運動量 $0$ の4点の結合 $\lambda_{\mathrm{eff}}=\lambda-\frac{3\lambda^2}{2}B$ の1ループの補正が、$\ln\Lambda$ の主要項だけで $\lambda$ と同じ大きさになる $\Lambda/m$ を求めよ。$\lambda=1$ ではいくらか。（使う道具：この章の5.8.3節、第5部第7章の Feynman 則）
3. (3) $d=3$ では泡の積分は $\int\frac{\mathrm{d}^3k}{(2\pi)^3}\frac{1}{(k^2+m^2)^2}=\frac{1}{8\pi m}$ で有限である。1ループの補正の $\lambda$ に対する比を $\xi=1/m$ で表し、比が $1$ になる相関長を求めよ。臨界点に近づくと何が起きるか。（使う道具：この章の5.8.4節、第3部第10章の Ginzburg の判定条件）
4. (4) $d=5$ では $D$ はどうなるか。1ループの4点の図の $D$ を求めよ。また、無次元にした結合 $\lambda m^{d-4}$ は臨界点 $m\to0$ でどうなるか。（使う道具：この章の5.8.4節、第3部第10章の平均場）
5. (5) 外線の数を固定してループを1つ増やすと $V$ と $I$ はいくつ増えるか。$\hbar$ を戻したとき、ループを1つ増やすことは何を1つ掛けることに当たるか。（使う道具：この章の5.8.2節）