授業で習った形との対応

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第5部 第3章 §5.3.6　★★ Stefan–Boltzmann の法則・Wien の変位則・波長で書いた Planck の式・固体物理の Debye のモデルを、この章の $g(\omega)$ と $n_{\mathrm B}$ の式で読み直す

熱放射：Stefan–Boltzmann の法則と Wien の変位則

熱力学や現代物理の授業では、黒体の表面から出る単位面積あたりの放射のパワーを

$$j=\sigma T^4,\qquad \sigma=5.670\times10^{-8}\,\mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}\tag{5.3.35}$$

と習う（Stefan–Boltzmann の法則）。この章の言葉では、空洞に開けた小さな穴から出るエネルギーの流れである。光子はあらゆる向きに速さ $c$ で飛んでいて、穴の面に対して角度 $\theta$ の向きに飛ぶ光子は単位時間に $c\cos\theta$ の厚さの層から出てくる。向きについて平均すると、穴に向かう光子は全体の半分で、その $\cos\theta$ の平均は $\frac12$ なので、$\frac12\times\frac12=\frac14$ が掛かり、$j=\frac14cU/V=\frac c4a_{\mathrm r}T^4$ で、

$$\sigma=\frac{ca_{\mathrm r}}{4}=\frac{\pi^2 k_{\mathrm B}^4}{60\hbar^3c^2}$$

になる。授業で与えられる定数 $\sigma$ は、式 (5.3.20) の $\pi^4/15$ と、光子の $g(\omega)$ の係数を組み合わせたものである。

授業では Planck の式を波長 $\lambda$ の関数として

$$u_\lambda(\lambda)=\frac{8\pi hc}{\lambda^5}\frac{1}{\mathrm{e}^{hc/(\lambda k_{\mathrm B} T)}-1}\tag{5.3.36}$$

と書くことが多い。これは $u_\lambda\,\lvert \mathrm{d}\lambda\rvert =u(\omega)\,\mathrm{d}\omega$、$\omega=2\pi c/\lambda$ で式 (5.3.18) を書き直したものである。Wien の変位則 $\lambda_{\max}T=b$ の $b=2.898\times10^{-3}\,\mathrm{m\,K}$ は、$u_\lambda$ の極大の位置から決まり、$x=hc/(\lambda k_{\mathrm B} T)$ の方程式 $x=5(1-\mathrm{e}^{-x})$ の解 $x=4.965$ を使って $b=hc/(4.965 k_{\mathrm B})$ である。$u(\omega)$ の極大は $x=3(1-\mathrm{e}^{-x})$ の解 $x=2.821$ で決まり、この2つの極大は同じ光を指していない。分布を $\omega$ で表すか $\lambda$ で表すかで $\mathrm{d}\omega/\mathrm{d}\lambda\propto\lambda^{-2}$ の因子が変わるので、「いちばん強い色」は分布の変数の取り方に依存する。

固体物理：Debye のモデル

固体物理の授業では、Debye のモデルを「格子振動を弾性体の音波として扱い、モードの数を $3N$ で打ち切る」と説明し、状態密度を $D(\omega)=9N\omega^2/\omega_{\mathrm D}^3$ と書くことが多い（この章の $g_{\mathrm D}$ と同じもの。記法の正本では $D(\varepsilon )$ を電子の状態密度に取っておくので、この章では $g$ と書いた）。フォノンは「格子振動の量子」と定義され、その平均の数に Bose 分布を使うと説明される。この章の形では、フォノンが $\mu=0$ の Bose 粒子であることは、振動子1つのカノニカル分布の帰結として出てきた。授業の「格子比熱の $T^3$ 則」と「黒体放射の $T^4$ 則」は、別の章に置かれることが多いが、式 (5.3.26) のとおり同じ計算である。

光の吸収と放出の釣り合いから Planck 分布を出す Einstein の A・B 係数の議論は、光学と量子エレクトロニクスの巻で扱う（光学と量子エレクトロニクス 第20章）。その議論ではこの章の $u(\omega)$ を使う。フォノンの非調和性による熱膨張・熱伝導は固体の巻で扱う（ハミルトニアンの選び方で固体を考える 第3部第2章）。