この章のまとめ

(1) 〔第2部第4章・第4部第4章／第5部第2章〕第5部第2章の5.2.7節の総合問題 (1)(2) の結果で、その章の $M$ を $m$、$2\omega_0$ を $\omega_{\mathrm m}$ と読み替えるだけである。$\omega_k=\omega_{\mathrm m}\lvert \sin(ka/2)\rvert$ で、$k=0$ は列全体の並進なので振動子にならず、

$$\hat H=\frac{\hat P_0^2}{2m}+\sum_{k\ne0}\hbar\omega_k\Bigl(\hat a_k^\dagger\hat a_k+\frac12\Bigr),\qquad \frac{E_0}{N}\;\xrightarrow{N\to\infty}\;\frac{\hbar\omega_{\mathrm m}}{\pi}.$$

$N=1000$ で和を直接計算すると $E_0/(N\hbar\omega_{\mathrm m})=0.3183$ で、$1/\pi=0.3183$ と一致する。

(2) 〔2節・4節・第3部第6章〕式 (5.3.10) を $g(\omega)$ で書いて$F=E_0+ k_{\mathrm B} T\int_0^{\omega_{\mathrm m}}g(\omega)\ln(1-\mathrm{e}^{-\beta\hbar\omega})\,\mathrm{d}\omega$、$g(\omega)=\frac{2N}{\pi}(\omega_{\mathrm m}^2-\omega^2)^{-1/2}$。低温では $g(\omega)\approx g(0)=2N/(\pi\omega_{\mathrm m})$ として、例題 5.3.4 (1) から $C=\frac{2\pi}{3}N k_{\mathrm B}\, k_{\mathrm B} T/(\hbar\omega_{\mathrm m})$。自由エネルギーの温度による部分は $\int_0^\infty\ln(1-\mathrm{e}^{-x})\,\mathrm{d} x=-\pi^2/6$ から $F-E_0=-\frac{\pi}{3}N\frac{( k_{\mathrm B} T)^2}{\hbar\omega_{\mathrm m}}$ で、$C=-T\partial^2F/\partial T^2$ が上の $C$ に一致する。

(3) 〔3節・第3部第4章〕$F=-\frac{a_{\mathrm r}}3VT^4$ から $P=-\partial F/\partial V=\frac{a_{\mathrm r}}{3}T^4$、$S=-\partial F/\partial T=\frac43a_{\mathrm r}VT^3$、$U=F+TS=a_{\mathrm r}VT^4=3PV$。$U(S,V)=KS^{4/3}V^{-1/3}$（$K=a_{\mathrm r}^{-1/3}(3/4)^{4/3}$）から $T=\partial U/\partial S=\frac43KS^{1/3}V^{-1/3}$。Legendre 変換 $F=\inf_S[U-TS]$ の停留点はこの式を $S$ について解いた $S=(3T/4K)^3V$ で、代入すると$U-TS=KS^{4/3}V^{-1/3}-\frac43KS^{4/3}V^{-1/3}=-\frac13KS^{4/3}V^{-1/3}=-\frac13K\bigl(\frac{3T}{4K}\bigr)^4V=-\frac{3^3}{4^4}\frac{T^4}{K^3}V$。$K^3=a_{\mathrm r}^{-1}(3/4)^4$ を入れると $-\frac{3^3}{4^4}\cdot\frac{4^4}{3^4}a_{\mathrm r}VT^4=-\frac{a_{\mathrm r}}3VT^4$ で、元の $F$ に戻る。$U$ が $S$ について下に凸なので、停留点は最小である。

(4) 〔4節〕式 (5.3.26) と式 (5.3.21) の比は$\dfrac{\pi^2/10\cdot(\hbar\bar v)^{-3}}{\pi^2/15\cdot(\hbar c)^{-3}}=\dfrac32\Bigl(\dfrac{c}{\bar v}\Bigr)^3=\dfrac32\times(9.993\times10^4)^3=1.50\times10^{15}$。同じ体積と温度で、フォノンの気体は光子気体の $10^{15}$ 倍のエネルギーを持つ。固体を温めるとき、空洞の光のエネルギーは比べものにならないほど小さい。

(5) 〔3節・第1部第14章・第3部第5章〕ゆっくり広げると各モードの段の数 $n_\alpha$ は断熱不変量として保たれ（第1部第14章の作用変数 $J=E/\omega$ が保たれることの量子版）、$\omega_\alpha\propto1/L_{\mathrm b}$ は $1/s$ 倍になる。$n_\alpha=n_{\mathrm B}(\omega_\alpha)$ が保たれるためには $\beta\hbar\omega_\alpha$ が一定でなければならないので $T\to T/s$。エントロピーは $S=\frac43a_{\mathrm r}VT^3\propto s^3\cdot s^{-3}$ で変わらない。これは第3部第5章の「断熱変化＝エントロピー一定」の例になっている。各モードの占有の確率分布 (5.3.12) が変わらないので、分布の言葉でもエントロピーは変わらない。$3000/2.72548=1.10\times10^3$ なので、$s=1.10\times10^3$。