何を削ったか：電子の励起・非調和性・力の届く範囲

ハミルトニアンの選び方で固体を考える　第3部 第1章 §3.1.5　★★★ 式 (3.1.3) は Born–Oppenheimer 近似と調和近似の上に立ち、さらに力の定数を近い数個のばねに打ち切っている

電子の励起を削った（Born–Oppenheimer 近似）

力の定数 $\Phi$ を電子の基底状態のエネルギー $E_0(\{\bm{R}\})$ の2階微分にした時点で、原子核が動く間も電子は常に基底状態にとどまる、と仮定した。これは 第1部第1章の Born–Oppenheimer 近似で、小さいパラメータは $(m/M)^{1/4}$ である。原子核の振動の振動数（THz）に比べて、電子を励起するのに要るエネルギーが十分大きいことがこの近似の前提になる。絶縁体と半導体では電子のバンドギャップが eV の大きさで、THz（数十 meV）の振動よりずっと大きいので前提が満たされる。

金属では Fermi 面のすぐ上に空いた状態が切れ目なく続き、励起のエネルギーのギャップが無い。それでも金属のフォノンが Born–Oppenheimer 近似でよく記述されるのは、伝導電子が原子核の動きに合わせて遮蔽の雲を作り直し、その結果として $\Phi$ が決まるからである。ただし遮蔽は Fermi 面の形を反映するので、波数が Fermi 面の直径 $2k_{\mathrm F}$ に当たる所で分散に折れ目が現れる。これを Kohn 異常と呼ぶ（W. Kohn (1959), Phys. Rev. Lett. 2, 393）。1次元の金属ではこの折れ目が深い谷になり、$k=2k_{\mathrm F}$ のモードの振動数が $0$ まで下がって格子が歪む。それが 第2部第8章の Peierls 転移である。

非調和性を削った（調和近似）

$E_0$ をずれの2次で打ち切ったので、3次以上の項（非調和項）を全部捨てた。捨てたことで、調和の結晶は次の3つの性質を持つ。第一に、モードは互いに独立なので、フォノンどうしが散乱しない。熱を運ぶフォノンが一度も散乱されないので、完全な結晶の熱伝導率は無限大になる。第二に、ポテンシャルが釣り合いのまわりで左右対称なので、原子の平均の位置は温度によらない。結晶は熱膨張しない。第三に、振動数は振幅によらないので、分散関係は温度によらない。実在の結晶はこの3つのどれも満たさない。有限の熱伝導率・熱膨張・振動数の温度変化は、どれも非調和項の効果であり、次の章（第3部第2章）で非調和項を摂動として戻して扱う。

調和近似の小さいパラメータは、揺れの振幅と格子間隔の比 $\sqrt{\langle u^2 \rangle }/a$ である。室温ではこの比は数 % で（例題 3.1.5）、2次の項に比べて3次の項はその程度に小さい。温度を上げて比が大きくなると調和近似の前提は崩れ、融点の近くでは結晶そのものが保てなくなる。なお、調和近似は「結晶が周期的な配置で安定である」ことを出発点にしている。多数の原子と電子からなる系の基底状態がそもそも周期的な結晶になることは、証明されていない（結晶化問題）。

力の届く範囲を削った（近い数個のばねへの打ち切り）

3.1.3 節の模型では、$\Phi$ を最近接と第2近接の中心力のばね2つだけで表した。実在の $\Phi$ はもっと遠くまで届き、角度にもよる。この打ち切りは小さいパラメータを持たない。ばねの定数は、測った分散や弾性定数に合わせて決める（第一原理計算では $E_0$ を直接微分して $\Phi$ を数値で求める）。打ち切りの影響がはっきり見えるのは2つの場合である。1つは中心力の仮定から出る Cauchy の関係 $C_{12}=C_{44}$ のずれで、もう1つはイオン結晶の長距離の Coulomb 力である。Coulomb 力は距離の3乗で減る双極子の相互作用として遠くまで届き、$\bm{k}\to0$ で縦の光学モード（LO）だけに余分な復元力を足す。そのため LO と TO の振動数は $\bm{k}\to0$ でも一致せず、その比は Lyddane–Sachs–Teller の関係 $\omega_{\mathrm{LO}}^2/\omega_{\mathrm{TO}}^2=\varepsilon_{\mathrm r}(0)/\varepsilon_{\mathrm r}(\infty)$ で誘電関数の低周波と高周波の値に結びつく（R. H. Lyddane, R. G. Sachs, E. Teller (1941), Phys. Rev. 59, 673）。近いばねだけの模型はこの分裂を出せない。