何の実験の量で確かめるか・授業で習った形との対応

ハミルトニアンの選び方で固体を考える　第3部 第1章 §3.1.6　★★★ 分散 $\omega_s(\bm{k})$ は、$k\to0$ の傾きを超音波、$\bm{k}\approx0$ の光学モードを赤外吸収と Raman 散乱、Brillouin 域全体を中性子の非弾性散乱で測る

長波長の傾き：音速と弾性定数

$\bm{k}\to0$ の音響の枝の傾きは音速そのものである。超音波のパルスを結晶に通して往復の時間を測れば、方向ごと・偏りごとの音速が分かり、式 (3.1.12) から弾性定数が決まる。これは分散の原点のすぐ近くだけを見る測り方で、Brillouin 域の大部分は見えない。

$\bm{k}\approx0$ の光学モード：赤外吸収と Raman 散乱

光で振動を測ると、光の波数が格子の逆格子に比べて非常に小さいので、運動量の保存から $\bm{k}\approx0$ のモードしか見えない（例題 3.1.6）。$\bm{k}\approx0$ で振動数が $0$ でないのは光学モードだけなので、光で見えるのは光学モードの $\Gamma$ 点（$\bm{k}=0$）の振動数である。赤外吸収では、単位胞の双極子を振動させる TO モードが同じ振動数の光を吸収する。イオン結晶では TO と LO の間の振動数の光が結晶の中を伝われず、強く反射される。Raman 散乱では、入射光が振動で変調された分極率に散乱され、振動数が $\omega_s(0)$ だけずれた光が出てくる。どのモードが赤外と Raman のどちらで見えるかは、モードの振れ方の対称性で決まる。光での測定の詳細は 第3部第3章で扱う。

Brillouin 域全体：中性子の非弾性散乱

分散を Brillouin 域の全体で測れるのは、熱中性子の非弾性散乱である。入射中性子の波数を $\bm{k}_{\mathrm i}$・エネルギーを $E_{\mathrm i}$、散乱後を $\bm{k}_{\mathrm f}$・$E_{\mathrm f}$ とすると、フォノンを1つ作る散乱では

$$E_{\mathrm i}-E_{\mathrm f}=\hbar\omega_s(\bm{q}),\qquad \bm{k}_{\mathrm i}-\bm{k}_{\mathrm f}=\bm{q}+\bm{G}\tag{3.1.16}$$

が成り立つ。2つ目の式は 第1部第3章の Laue 条件に、フォノンの結晶運動量 $\bm{q}$ を足したものである。逆格子ベクトル $\bm{G}$ の分だけの不定性は、$\bm{q}$ を Brillouin 域に戻すことで取り除く。散乱の前後の波数とエネルギーを測れば、1回の測定で分散の上の点 $(\bm{q},\omega_s(\bm{q}))$ が1つ決まる。熱中性子は、波長が格子間隔と同じ程度で、エネルギーがフォノンと同じ程度（数十 meV）なので、波数の変化とエネルギーの変化の両方を同時に精度よく測れる。X 線は同じ波長で keV のエネルギーを持つので、meV のエネルギーの変化を測るには非常に高い分解能が要る。

模型が合わなくなる条件

測った分散がこの章の調和の模型からずれる典型は、3.1.5 節で削ったものに対応して3つある。温度を上げると振動数が下がり、ピークの幅が広がる（非調和性。フォノンの寿命が有限になる）。金属では $2k_{\mathrm F}$ で分散に折れ目が入る（Kohn 異常。Born–Oppenheimer 近似の下で電子の遮蔽が $\Phi$ に入れたもの）。イオン結晶では $\bm{k}\to0$ で LO と TO が分かれる（長距離の Coulomb 力）。

授業で習った形との対応

学部の固体物理の授業では、格子振動を Lagrangian を経ずに Newton の運動方程式から始めることが多い。1原子の列なら、ばね定数を $C$ として

$$M\frac{\mathrm{d}^2u_s}{\mathrm{d} t^2}=C(u_{s+1}+u_{s-1}-2u_s),\qquad u_s=u\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(ska-\omega t)}\ \Rightarrow\ \omega^2=\frac{4C}{M}\sin^2\frac{ka}{2}$$

と書く。この章の形との対応は次のとおりである。Newton の運動方程式は式 (3.1.1) の Euler–Lagrange 方程式そのもので、ばね定数 $C$ はこの章の $K$ である。平面波を仮定することは、この章では「番号ずらしで $L$ が変わらないので、ずらしの固有状態に選べる」という対称性の議論で正当化した。授業では仮定として置き、解が見つかることで事後に確かめる。2原子の列も、授業では

$$\begin{gathered}M_1\ddot u_s=C(v_s+v_{s-1}-2u_s),\qquad M_2\ddot v_s=C(u_{s+1}+u_s-2v_s),\\ \omega^2=C\Bigl(\frac{1}{M_1}+\frac{1}{M_2}\Bigr)\pm C\sqrt{\Bigl(\frac{1}{M_1}+\frac{1}{M_2}\Bigr)^2-\frac{4\sin^2(ka/2)}{M_1M_2}}\end{gathered}$$

の形で習う。これは式 (3.1.7)・(3.1.9) と同じ式で、違いは振幅を $1/\sqrt{M}$ で割って動的行列 (3.1.8) をエルミートにしたかどうかだけである。エルミートにしておくと、固有値 $\omega^2$ が実数であること、固有ベクトルが直交して基準座標になること、3次元・多原子への一般化 (3.1.6) が、行列の一般論からそのまま従う。3次元の格子振動は授業では弾性波の式 $\rho\ddot{\bm{u}}=\cdots$ から音速 $\sqrt{C_{11}/\rho}$ を出す形で習うことが多く、これは 3.1.3 節の長波長の極限 (3.1.12) に当たる。