この章のまとめ

(1) 〔3.1.1 節〕$L=\sum_l\bigl[\frac12M(\dot u_{\mathrm A,l}^2+\dot u_{\mathrm B,l}^2)-\frac12K_1(u_{\mathrm B,l}-u_{\mathrm A,l})^2-\frac12K_2(u_{\mathrm A,l+1}-u_{\mathrm B,l})^2\bigr]$。Euler–Lagrange 方程式は

$$M\ddot u_{\mathrm A,l}=K_1(u_{\mathrm B,l}-u_{\mathrm A,l})+K_2(u_{\mathrm B,l-1}-u_{\mathrm A,l}),\qquad M\ddot u_{\mathrm B,l}=K_1(u_{\mathrm A,l}-u_{\mathrm B,l})+K_2(u_{\mathrm A,l+1}-u_{\mathrm B,l}).$$

$u_{\mathrm A,l}=e_{\mathrm A}\mathrm{e}^{\mathrm{i}(kla-\omega t)}/\sqrt M$、$u_{\mathrm B,l}=e_{\mathrm B}\mathrm{e}^{\mathrm{i}(kla-\omega t)}/\sqrt M$ を入れると

$$\mathsf D(k)=\frac1M\begin{pmatrix}K_1+K_2&-(K_1+K_2\mathrm{e}^{-\mathrm{i} ka})\\-(K_1+K_2\mathrm{e}^{\mathrm{i} ka})&K_1+K_2\end{pmatrix}.$$

各行の和は $k=0$ で $0$ になり、式 (3.1.4) を満たす。

(2) 〔3.1.2 節〕対角成分が等しい $2\times2$ のエルミート行列なので、固有値は対角成分 $\pm$ 非対角成分の絶対値で

$$\omega_\pm^2(k)=\frac{1}{M}\Bigl(K_1+K_2\pm\lvert K_1+K_2\mathrm{e}^{\mathrm{i} ka}\rvert \Bigr),\qquad \lvert K_1+K_2\mathrm{e}^{\mathrm{i} ka}\rvert ^2=(K_1+K_2)^2-4K_1K_2\sin^2\frac{ka}{2}.$$

$k=0$ で $\omega_-^2=0$、$\omega_+^2=2(K_1+K_2)/M$。$k=\pi/a$ で $\lvert K_1-K_2\rvert =K_1-K_2$ なので $\omega_-^2=2K_2/M$、$\omega_+^2=2K_1/M$。$\lvert K_1+K_2\mathrm{e}^{\mathrm{i} ka}\rvert$ は $k=\pi/a$ で最小なので、ギャップは Brillouin 域の端の $\sqrt{2K_2/M}<\omega<\sqrt{2K_1/M}$ に開く。質量でなくばねの違いでもギャップが開く。

(3) 〔3.1.2 節〕$k=\pi/a$ で $\mathsf D=\frac1M\begin{pmatrix}K_1+K_2&-(K_1-K_2)\\-(K_1-K_2)&K_1+K_2\end{pmatrix}$。固有値 $2K_2/M$ の固有ベクトルは $e_{\mathrm A}=e_{\mathrm B}$ で、$u_{\mathrm A,l}=u_{\mathrm B,l}\propto(-1)^l$。同じ単位胞の A と B は一緒に動くので強いばね $K_1$ は伸びず、B$_l$ と A$_{l+1}$ は逆向きに動くので弱いばね $K_2$ だけが $2$ 倍の伸びで働く。固有値 $2K_1/M$ の固有ベクトルは $e_{\mathrm A}=-e_{\mathrm B}$ で、A$_{l+1}-$B$_l\propto(-1)^{l+1}+(-1)^l=0$ となり $K_2$ は伸びず、$K_1$ だけが働く。弱いばねだけを使うモードの振動数が低く、強いばねだけを使うモードが高い。

(4) 〔3.1.2 節・解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部第4章〕$k\to0$ で $\sin^2(ka/2)\approx k^2a^2/4$、$\lvert K_1+K_2\mathrm{e}^{\mathrm{i} ka}\rvert \approx(K_1+K_2)-K_1K_2k^2a^2/(2(K_1+K_2))$ なので $\omega_-^2\approx\frac{K_1K_2}{2M(K_1+K_2)}a^2k^2$、

$$v=a\sqrt{\frac{K_1K_2}{2M(K_1+K_2)}}.$$

長さ $a$ の中で $K_1$ と $K_2$ が直列につながると合成のばね定数は $K_1K_2/(K_1+K_2)$、長さ $a$ あたりの質量は $2M$ なので、弦の音速 $\sqrt{\kappa/\mu}$ で $\kappa=aK_1K_2/(K_1+K_2)$、$\mu=2M/a$ と置いたものと一致する。$K_1=2K_2$ では $v=a\sqrt{K_2/M}/\sqrt3=0.577\,a\sqrt{K_2/M}$、ギャップの上端と下端の比は $\sqrt{2K_1/2K_2}=\sqrt2$、$\omega_+(0)/\omega_-(\pi/a)=\sqrt{2(K_1+K_2)/(2K_2)}=\sqrt3$ である。

(5) 〔3.1.1 節・第2部第1章・第2部第8章〕電子の $2\times2$ の行列は $-\begin{pmatrix}0&t_{\mathrm h,1}+t_{\mathrm h,2}\mathrm{e}^{-\mathrm{i} ka}\\t_{\mathrm h,1}+t_{\mathrm h,2}\mathrm{e}^{\mathrm{i} ka}&0\end{pmatrix}$ で、$\mathsf D(k)$ から対角の $(K_1+K_2)/M$ を引いたものは、$t_{\mathrm h,i}$ を $K_i/M$ に置き換えたこの行列と同じ形である。したがって

$$\omega_\pm^2(k)-\frac{K_1+K_2}{M}\ \longleftrightarrow\ \varepsilon _\pm(k),\qquad t_{\mathrm h,i}\ \longleftrightarrow\ \frac{K_i}{M}$$

が対応し、強い結合と弱い結合が交互に並ぶと Brillouin 域の端にギャップが開くことは、フォノンでも電子（第2部第8章の交互の結合の列）でも同じ行列の性質である。$K_2\to0$ では $\omega_+^2=2K_1/M$ が $k$ によらない平らな枝になり、$\omega_-=0$ になる。列は孤立した2原子の分子に分かれ、各分子の伸縮振動（$\sqrt{2K_1/M}$）と、ばねでつながっていない分子の並進（$\omega=0$）だけが残る。電子で $t_{\mathrm h,2}\to0$ にすると、孤立した2量体の結合軌道と反結合軌道（第2部第1章）の平らなバンドになるのと同じである。ただし電子の行列ではサイトのエネルギー（対角成分）を自由に選べるのに対し、$\mathsf D(k)$ の対角成分は並進の不変性 (3.1.4) によって非対角成分の和 $(K_1+K_2)/M$ に縛られている。そのため $k=0$ で $\omega_-^2=(K_1+K_2-\lvert K_1+K_2\rvert )/M=0$ が必ず成り立ち、下の枝はばねの値によらず原点に触れる。音響の枝が $\omega=0$ から始まるのは、結晶全体を平行移動してもエネルギーが変わらないことの帰結である。