この章で選ぶ H と当てる道具：散乱振幅は Fourier 変換

ハミルトニアンの選び方で固体を考える　第1部 第3章 §1.3.1　★★★ 第1 Born 近似で散乱振幅がポテンシャルの Fourier 変換になる。章の残りはすべてこの1式の読み替え

前の章（第1部第2章）では、結晶を格子と基本構造（basis）の組で表し、格子の周期を持つ関数は逆格子ベクトル $\bm{G}$ だけを波数に持つ Fourier 級数で書けることを見た。ただしそこまでは幾何の約束であり、実在の結晶の格子定数や原子の並びをどうやって知るのかには答えていない。この章はその答えである。波長が原子間距離と同じ程度の波（X 線・電子線・中性子線）を結晶に当て、散乱された波の強さを角度ごとに測ると、強い散乱は散乱ベクトルが逆格子ベクトルに一致する方向にだけ現れ、その強さは単位胞の中の原子の並びで決まる。

この章で選ぶものは、入射粒子1つと、静止した結晶が作るポテンシャルだけである。電子の多体の問題も、原子の熱振動も、いったん全部捨てる。当てる道具は散乱理論の第1 Born 近似で、この近似のもとでは散乱振幅がポテンシャルの Fourier 変換そのものになる。そこから3つのものが出てくる。散乱が起きる方向を決める Laue 条件（Bragg の式・Ewald 球）、強度を決める構造因子と消滅則、そして探り針ごとに異なる原子形状因子である。最後に、捨てたもの（多重散乱・熱振動・結合による電子密度の歪み）を数え、それぞれを第V巻（近似の数理）の言葉で札にする。

選ぶ H

質量 $m$ の粒子（中性子や電子）が、結晶の作るポテンシャル $V(\bm{r})$ の中を飛ぶとする。この章で選ぶハミルトニアンは

$$\hat H=\frac{\hat{\bm{p}}^2}{2m}+V(\hat{\bm{r}}),\qquad V(\bm{r})=\sum_{\bm{R}}\sum_{j}v_j(\bm{r}-\bm{R}-\bm{d}_j)\tag{1.3.1}$$

である。$\bm{R}$ は格子ベクトル、$\bm{d}_j$ は単位胞の中の $j$ 番目の原子の位置、$v_j$ はその原子1個が作るポテンシャルである。この形を書いた時点で、すでに大きく削っている。結晶をつくる原子は止まっていて（熱振動なし）、入射粒子は結晶の状態を変えず（弾性散乱だけ）、結晶全体のポテンシャルは原子1個ずつのポテンシャルの和で書ける、と仮定した。何を削ったかは 1.3.5 節で数え直す。

X 線は粒子でなく電磁波なので、式 (1.3.1) の形ではない。X 線は電子にだけ散乱され、その振幅は電子の個数密度 $n(\bm{r})$ の Fourier 変換になる（1.3.4 節）。結論の形は中性子・電子と同じなので、この節では式 (1.3.1) で話を進める。

当てる道具：第1 Born 近似

エネルギー $E=\hbar^2k^2/(2m)$ の平面波 $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\bm{k}\cdot\bm{r}}$ を入射させる。定常状態の Schrödinger 方程式 $(\nabla^2+k^2)\psi=(2m/\hbar^2)V\psi$ は、外向きの球面波を表す Green 関数 $-\mathrm{e}^{\mathrm{i} k\lvert \bm{r}-\bm{r}'\rvert }/(4\pi\lvert \bm{r}-\bm{r}'\rvert )$ を使って積分方程式

$$\psi(\bm{r})=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\bm{k}\cdot\bm{r}}-\frac{m}{2\pi\hbar^2}\int\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} k\lvert \bm{r}-\bm{r}'\rvert }}{\lvert \bm{r}-\bm{r}'\rvert }V(\bm{r}')\psi(\bm{r}')\,\mathrm{d}^3r'\tag{1.3.2}$$

に書き直せる（Lippmann–Schwinger 方程式）。検出器は結晶から遠くにあるので、$r=\lvert \bm{r}\rvert \gg\lvert \bm{r}'\rvert$ として$k\lvert \bm{r}-\bm{r}'\rvert \approx kr-\bm{k}'\cdot\bm{r}'$（$\bm{k}'=k\,\bm{r}/r$ は検出器の方向を向いた、大きさ $k$ の波数ベクトル）と展開すると、$\psi\approx\mathrm{e}^{\mathrm{i}\bm{k}\cdot\bm{r}}+f(\bm{k}',\bm{k})\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} kr}/r$ の形になる。ここで右辺の積分の中の $\psi$ を入射波 $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\bm{k}\cdot\bm{r}'}$ で置き換えるのが第1 Born 近似である。散乱された波がもう一度散乱される寄与を捨てる近似なので、「1回散乱の近似」とも言う。結果は

$$f(\bm{k}',\bm{k})=-\frac{m}{2\pi\hbar^2}\int V(\bm{r})\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\bm{q}\cdot\bm{r}}\,\mathrm{d}^3r=-\frac{m}{2\pi\hbar^2}\tilde V(\bm{q}),\qquad \bm{q}\coloneqq\bm{k}'-\bm{k}\tag{1.3.3}$$

となる。$\bm{q}$ を散乱ベクトルと呼ぶ。微分散乱断面積は $\mathrm{d}\sigma/\mathrm{d}\Omega=\lvert f\rvert ^2$ で、検出器が数える粒子の数はこれに比例する。Fourier 変換の符号は記法の正本の流儀（$\tilde V(\bm{q})=\int V\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\bm{q}\cdot\bm{r}}\mathrm{d}^3r$、$2\pi$ は逆変換の側）に合っている。

式 (1.3.3) がこの章のすべての出発点である。散乱振幅は、ポテンシャルを散乱ベクトル $\bm{q}$ という1つの波数で Fourier 成分に分けたものに比例する。波長を変えたり結晶を回したりして $\bm{q}$ を動かしながら $\lvert f\rvert ^2$ を測ることは、ポテンシャルの Fourier 成分の絶対値を1つずつ読み取ることに当たる。光学で Fraunhofer 回折の振幅が開口の Fourier 変換になるのと同じ構造で（光学と量子エレクトロニクス 第6章）、違うのは「開口」が3次元に周期的に並んだ原子だという点だけである。

格子の和と基本構造の和に分ける

式 (1.3.1) の $V$ を式 (1.3.3) に入れ、積分変数を原子ごとに $\bm{r}=\bm{R}+\bm{d}_j+\bm{s}$ とずらすと、

$$\tilde V(\bm{q})=\underbrace{\sum_{\bm{R}}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\bm{q}\cdot\bm{R}}}_{L(\bm{q})}\;\underbrace{\sum_j\tilde v_j(\bm{q})\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\bm{q}\cdot\bm{d}_j}}_{\text{単位胞の和}}\tag{1.3.4}$$

と、格子だけで決まる和 $L(\bm{q})$ と、単位胞の中身だけで決まる和の積に分かれる。この分解は「結晶＝格子＋基本構造」という前の章の分け方を、そのまま散乱振幅に写したものである。$L(\bm{q})$ は散乱の方向を決め（1.3.2 節）、単位胞の和は各方向の強さを決める（1.3.3 節）。