この章のまとめ

(1) 例題 1.2.1 と同じく、$A_{\mathrm c}=\lvert \bm{a}_1\times\bm{a}_2\rvert =\frac{\sqrt3}{2}a^2$、原子の間隔は $\lvert \bm{\tau}_{\mathrm B}\rvert =a/\sqrt3$ である。

(2) 2次元では、$\bm{b}_1$ は $\bm{a}_2$ に垂直で $\bm{a}_1\cdot\bm{b}_1=2\pi$ を満たすベクトルとして決まる。$\bm{b}_1=\beta(\frac{\sqrt3}{2},-\frac12)$ とおくと$\bm{a}_1\cdot\bm{b}_1=\frac{\sqrt3}{2}a\beta=2\pi$ より $\beta=\frac{4\pi}{\sqrt3a}$ で、

$$\bm{b}_1=\frac{2\pi}{a}\Bigl(1,-\frac{1}{\sqrt3}\Bigr),\qquad \bm{b}_2=\frac{2\pi}{a}\Bigl(0,\frac{2}{\sqrt3}\Bigr)$$

（$\bm{b}_2$ は $\bm{a}_1$ に垂直で $\bm{a}_2\cdot\bm{b}_2=2\pi$ から同様に）。$\lvert \bm{b}_1\rvert =\lvert \bm{b}_2\rvert =\frac{4\pi}{\sqrt3a}$ で、$\bm{b}_1\cdot\bm{b}_2=\bigl(\frac{2\pi}{a}\bigr)^2\bigl(-\frac23\bigr)=\lvert \bm{b}_1\rvert ^2\cos\theta$ から $\cos\theta=-\frac12$、なす角は $120^\circ$ である。逆格子も六方格子で、実空間の格子を $30^\circ$ 回した向きのもの（$\bm{a}_1$ と $\bm{a}_2$ のなす角は $60^\circ$ だが、同じ格子は $120^\circ$ をなす $\bm{a}_1$ と $\bm{a}_2-\bm{a}_1$ でも張れる）である。

(3) 最も短い逆格子ベクトルは $\pm\bm{b}_1,\pm\bm{b}_2,\pm(\bm{b}_1+\bm{b}_2)$ の6本で、長さはどれも $\frac{4\pi}{\sqrt3a}$ である。Brillouin 域の辺はこれらの垂直二等分線なので、辺の中点 M までの距離は $\frac12\cdot\frac{4\pi}{\sqrt3a}=\frac{2\pi}{\sqrt3a}$ である。正六角形の頂点までの距離は辺の中点までの距離の $1/\cos30^\circ=2/\sqrt3$ 倍なので、$\lvert \mathrm{K}\rvert =\frac{2\pi}{\sqrt3a}\cdot\frac{2}{\sqrt3}=\frac{4\pi}{3a}$ である。正六角形の面積は頂点までの距離 $R$ を使って $\frac{3\sqrt3}{2}R^2$ なので

$$\frac{3\sqrt3}{2}\Bigl(\frac{4\pi}{3a}\Bigr)^2=\frac{8\sqrt3\pi^2}{3a^2}=\frac{8\pi^2}{\sqrt3a^2},\qquad \frac{(2\pi)^2}{A_{\mathrm c}}=\frac{4\pi^2}{\sqrt3a^2/2}=\frac{8\pi^2}{\sqrt3a^2}$$

で一致する。

(4) 式 (1.2.9) の2次元版により、許される波数は Brillouin 域の中に単位胞の数と同じ $N^2$ 個ある。準位は1つの波数あたり基底の数の2個、スピンを入れて4個なので、全部で $4N^2$ 個ある。電子は原子1個あたり1個で、原子は $2N^2$ 個なので電子も $2N^2$ 個ある。準位の半分（5割）が埋まる。どの準位がどの順に埋まるか（2本のバンドの下の1本がちょうど埋まり、K 点で上のバンドと接すること）は、第2部で $H$ を対角化して初めて分かる。

(5) 式 (1.2.7) の2次元版（$v_{\mathrm c}$ を $A_{\mathrm c}$ に、基底の2個は同じ原子）から

$$V_{\bm{G}}=\frac{\tilde v(\bm{G})}{A_{\mathrm c}}\bigl(1+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\bm{G}\cdot\bm{\tau}_{\mathrm B}}\bigr)$$

である。$\bm{\tau}_{\mathrm B}=\frac13(\bm{a}_1+\bm{a}_2)$ と $\bm{a}_i\cdot\bm{b}_j=2\pi\delta_{ij}$ から $\bm{G}\cdot\bm{\tau}_{\mathrm B}=\frac{2\pi}{3}(m_1+m_2)$ なので、

$$\lvert 1+\mathrm{e}^{-2\pi\mathrm{i}(m_1+m_2)/3}\rvert = \begin{cases}2 & (m_1+m_2\text{ が }3\text{ の倍数})\\ 1 & (\text{それ以外})\end{cases}$$

になる（$\lvert 1+\mathrm{e}^{\mp2\pi\mathrm{i}/3}\rvert =\lvert \frac12\mp\frac{\sqrt3}{2}\mathrm{i}\rvert =1$）。基底の因子が $0$ になる $\bm{G}$ は無く、すべての逆格子ベクトルの成分がポテンシャルに残る。基底の2個の原子がちょうど逆位相になる $\bm{G}$ があれば因子は $0$ になるが、$\frac{2\pi}{3}(m_1+m_2)$ が $\pi$ の奇数倍になる整数は無いからである。