授業で習った形との対応

ハミルトニアンの選び方で固体を考える　第1部 第2章 §1.2.6　★ 結晶学の流儀（$2\pi$ を入れない逆格子・軸の切片の逆数で決める Miller 指数）と、この章の形を式で並べる

学部の固体物理の授業と結晶学の教科書では、同じものを少し違う形で書くことが多い。式で並べておく。

逆格子の $2\pi$。この章（固体物理の流儀）では $\bm{a}_i\cdot\bm{b}_j=2\pi\delta_{ij}$ とした。結晶学では $2\pi$ を入れず、

$$\bm{a}_i\cdot\bm{b}_j^{\,*}=\delta_{ij},\qquad \bm{b}_1^{\,*}=\frac{\bm{a}_2\times\bm{a}_3}{\bm{a}_1\cdot(\bm{a}_2\times\bm{a}_3)}\ \ (\text{ほかも巡回})$$

と定めることが多い。両者は $\bm{b}_j=2\pi\bm{b}_j^{\,*}$ の関係にある。結晶学の流儀では面間隔が $d=1/\lvert \bm{b}^{\,*}_{hkl}\rvert$ になり、回折の条件は散乱ベクトルを $(\bm{k}'-\bm{k})/(2\pi)$ で書いて $\bm{b}^{\,*}_{hkl}$ と等しいとおく形になる。式の中身は同じで、$2\pi$ をどこに置くかだけが違う。

Miller 指数。授業では「格子面が3本の軸を切る点を $x_1\bm{a}_1$、$x_2\bm{a}_2$、$x_3\bm{a}_3$ とし、逆数 $1/x_1,1/x_2,1/x_3$ を互いに素な整数の比に直したもの」と定義することが多い。第4節で見たように、平面 $\bm{G}\cdot\bm{r}=2\pi$ は $\bm{a}_1/h,\bm{a}_2/k,\bm{a}_3/l$ を通るので、切片の逆数は $(h,k,l)$ に比例する。2つの定義は同じものを指す。軸に平行な面（切片が無限遠）は逆数が $0$ になり、指数の $0$ に当たる。

立方晶の面間隔。授業では $d_{hkl}=a/\sqrt{h^2+k^2+l^2}$ を立方晶のすべてに使い、fcc・bcc で現れない反射を「消滅則」として回折の節で別に学ぶことが多い。この章では、fcc・bcc で $\frac{2\pi}{a}(h,k,l)$ がそもそも逆格子ベクトルでない場合がある（偶奇の規則）と見た。消滅則のうち格子だけで決まる分（fcc の「すべて偶数かすべて奇数」、bcc の「$h+k+l$ が偶数」）は、慣用単位胞を使ったために余分な $\bm{G}$ を数えたことの訂正である。ダイヤモンド構造の $(200)$ のように、基底の因子 (1.2.7) が $0$ になって消える分は別の原因で、第1部第3章で扱う。

Brillouin 域。授業では、1次元の $-\pi/a<k\le\pi/a$ を先に習い、3次元の Brillouin 域は図で与えられることが多い。この章の定義（逆格子の Wigner–Seitz 胞）は、1次元では $\lvert k\rvert <\lvert k-2\pi m/a\rvert$（すべての $m\neq0$）となり、$\lvert k\rvert <\pi/a$ に一致する。