出てくるもの2：格子面・Miller 指数と Brillouin 域

ハミルトニアンの選び方で固体を考える　第1部 第2章 §1.2.4　★★★ 逆格子ベクトル1本が実空間の格子面の族1つに対応し、面間隔が $2\pi/\lvert \bm{G}\rvert$ になることを示す。Wigner–Seitz 胞と第1 Brillouin 域を定義する

格子面の族と逆格子ベクトル

格子点を含む平面で、その平面の上の格子点が2次元の格子をなすものを格子面と呼ぶ。1つの格子面と平行で等間隔に並び、全体ですべての格子点を含む格子面の集まりを格子面の族と呼ぶ。格子面の族は、逆格子ベクトルとちょうど1対1に対応する。

最も短い $\bm{G}=h\bm{b}_1+k\bm{b}_2+l\bm{b}_3$（$h,k,l$ は最大公約数 $1$ の整数）の係数を並べた $(hkl)$ を、その格子面の族の Miller 指数と呼ぶ（ここの $k$ は整数で、太字の波数 $\bm{k}$ とは別のものである）。負の指数は数字の上に横線を引いて $(\bar1 10)$ のように書く。平面 $\bm{G}\cdot\bm{r}=2\pi$ は、$\bm{a}_1/h$、$\bm{a}_2/k$、$\bm{a}_3/l$ の3点を通る（例えば $\bm{G}\cdot\bm{a}_1/h=2\pi$）。「格子面が軸を切る点の座標の逆数」という Miller 指数の結晶学での定義（第6節）は、この事実を言い換えたものである。

立方格子の慣用単位胞の軸で指数を付けると、$\bm{G}=\frac{2\pi}{a}(h,k,l)$ で

$$d_{hkl}=\frac{a}{\sqrt{h^2+k^2+l^2}}\tag{1.2.15}$$

になる。ただし fcc と bcc では $\frac{2\pi}{a}(h,k,l)$ が逆格子ベクトルとは限らないので、式 (1.2.15) を使うときはその $(h,k,l)$ が実際に逆格子ベクトルかを先に確かめる必要がある。fcc で「$(100)$ 面」と呼ばれる面の族の本当の面間隔は $d_{200}=a/2$ である（立方体の面の中心の原子が、間の面に乗る）。

図 1.2.3　2次元の正方格子（格子定数 $a$）の格子面の族の一例。灰色の線が $x+2y=\ell a$（$\ell\in\mathbb{Z}$）で、すべての格子点を含む。線に垂直な最も短い逆格子ベクトルは $\bm{G}=\frac{2\pi}{a}(1,2)$ で、線の間隔は $2\pi/\lvert \bm{G}\rvert =a/\sqrt5$ である

Wigner–Seitz 胞と第1 Brillouin 域

第2節で、格子点の上の量では波数が逆格子ベクトルの分だけ同一視されることを見た。同一視した波数の代表を1つずつ選ぶ領域として、原点に最も近いものを選ぶのが自然である。そのための領域を、一般の格子について定義しておく。

Wigner–Seitz 胞は、$\bm{R}_0$ と他の格子点を結ぶ線分の垂直二等分面で囲まれた領域で、基本単位胞の1つである（体積は $v_{\mathrm c}$）。格子の回転・鏡映の対称性をすべてそのまま持つので、対称性の議論に向いている。第1 Brillouin 域は逆格子の基本単位胞の1つなので体積は $(2\pi)^3/v_{\mathrm c}$ で、周期境界条件で許される波数がちょうど $N$ 個入る（境界の上の点は向かい合う境界の点と $\bm{G}$ だけずれて同一視されるので、片方だけ数える）。

第1 Brillouin 域の境界は、原点と逆格子ベクトル $\bm{G}$ を結ぶ線分の垂直二等分面の一部で、その上の波数は

$$\lvert \bm{k}\rvert =\lvert \bm{k}-\bm{G}\rvert \quad\Longleftrightarrow\quad 2\bm{k}\cdot\bm{G}=\lvert \bm{G}\rvert ^2\tag{1.2.16}$$

を満たす。これは、波数 $\bm{k}$ の波が $\bm{G}$ の分だけ向きを変えても波数の大きさ（エネルギー）が変わらない条件で、回折の Bragg 条件の逆格子での形である（第1部第3章）。第2部では、電子の波がまさにこの面の上で強く反射され、エネルギーのギャップが開く（第2部第5章）。

いくつかの格子の第1 Brillouin 域の形を挙げておく。sc の逆格子は sc なので、Brillouin 域は1辺 $2\pi/a$ の立方体である。fcc の逆格子は bcc で、bcc の Wigner–Seitz 胞は正方形の面6枚と正六角形の面8枚で囲まれた切頂八面体になる。bcc の逆格子は fcc で、その Wigner–Seitz 胞は菱形の面12枚の菱形十二面体である。2次元の六方格子の Brillouin 域は正六角形で（図 1.2.4）、その頂点が第2部第9章のグラフェンで Dirac コーンの現れる点になる。Brillouin 域の中の対称性の高い点には名前を付けて呼ぶ。原点を $\Gamma$、六方格子の頂点を K、辺の中点を M と書く。

図 1.2.4　図 1.2.1 の六方格子の逆格子（黒丸。単位は $2\pi/a$）と第1 Brillouin 域（緑の正六角形）。$\bm{b}_1=\frac{2\pi}{a}(1,-\frac{1}{\sqrt3})$、$\bm{b}_2=\frac{2\pi}{a}(0,\frac{2}{\sqrt3})$。破線は原点と逆格子ベクトル $\bm{b}_1+\bm{b}_2$ を結ぶ線分で、M はその中点、六角形の辺はその垂直二等分線の一部である。頂点 K までの距離は $\frac{4\pi}{3a}$