出てくるもの1：実在の結晶の格子と基底

ハミルトニアンの選び方で固体を考える　第1部 第2章 §1.2.3　★★ 立方格子3種・六方最密・ダイヤモンド・NaCl・CsCl を「格子＋基底」で書き、面心立方の逆格子が体心立方になることを確かめる

立方格子の3種

1辺 $a$ の立方体の頂点に格子点を置いたものが単純立方格子（sc）、立方体の中心にも置いたものが体心立方格子（bcc）、6つの面の中心にも置いたものが面心立方格子（fcc）である。いずれも、1辺 $a$ の立方体（慣用単位胞）を並べて書くと対称性が見やすい。基本並進ベクトルは次のように取れる（$\bm{e}_x,\bm{e}_y,\bm{e}_z$ は立方体の辺の向きの単位ベクトル）。

$$\begin{align*}\text{sc}:&\quad \bm{a}_1=a\bm{e}_x,\ \bm{a}_2=a\bm{e}_y,\ \bm{a}_3=a\bm{e}_z,\tag{1.2.11}\\\text{bcc}:&\quad \bm{a}_1=\tfrac a2(-1,1,1),\ \bm{a}_2=\tfrac a2(1,-1,1),\ \bm{a}_3=\tfrac a2(1,1,-1),\tag{1.2.12}\\\text{fcc}:&\quad \bm{a}_1=\tfrac a2(0,1,1),\ \bm{a}_2=\tfrac a2(1,0,1),\ \bm{a}_3=\tfrac a2(1,1,0).\tag{1.2.13}\end{align*}$$

基本単位胞の体積は式 (1.2.2) から sc で $a^3$、bcc で $a^3/2$、fcc で $a^3/4$ になる。慣用単位胞（体積 $a^3$）の中の格子点の数はそれぞれ $1$、$2$、$4$ 個で、体積の比と合っている。

格子点に半径の等しい球を、隣どうしが接するように置いたときの充填率（球が占める体積の割合）は、最近接距離が sc で $a$、bcc で $\frac{\sqrt3}{2}a$、fcc で $\frac{a}{\sqrt2}$ であることから、それぞれ $\frac{\pi}{6}\approx0.524$、$\frac{\sqrt3\pi}{8}\approx0.680$、$\frac{\sqrt2\pi}{6}\approx0.740$ になる。最近接の数（配位数）は $6$、$8$、$12$ である。fcc の充填率は、等しい球を3次元に詰める詰め方のうち最大の値であることが知られている（Kepler 予想。T. C. Hales（2005）、Ann. Math. 162、1065 頁で証明された）。

面心立方の逆格子は体心立方

この命題は、慣用単位胞の言葉に直すと見通しがよい。fcc の逆格子ベクトルは $\bm{G}=\frac{2\pi}{a}(h,k,l)$ と書いたとき、$h,k,l$ がすべて偶数かすべて奇数のものに限られる。例えば $\frac{2\pi}{a}(1,0,0)$ は fcc の逆格子ベクトルでない。fcc の格子点 $\frac a2(0,1,1)$ との内積が $0$ でも、$\frac a2(1,1,0)$ との内積が $\pi$ になるからである。この「偶奇の規則」は第4節の格子面と、第1部第3章の回折で消える反射の規則として現れる。

基底を持つ結晶

多くの実在の結晶は、上の格子に2個以上の原子からなる基底を置いたものである。代表的なものを挙げる。

• ダイヤモンド構造（C・Si・Ge）：fcc に、$\bm{\tau}_1=\bm{0}$、$\bm{\tau}_2=\frac a4(1,1,1)$ の同じ原子2個を置く。各原子は正四面体の頂点にある4個の原子と結合する。2個の原子が別の元素なら閃亜鉛鉱構造（GaAs など）になる。
• NaCl 構造：fcc に、Na を $\bm{0}$、Cl を $\frac a2(1,0,0)$ に置く。
• CsCl 構造：sc に、Cs を $\bm{0}$、Cl を $\frac a2(1,1,1)$ に置く。原子の位置は bcc と同じだが、立方体の中心の原子が別の元素なので bcc ではない。
• 六方最密構造（hcp）：3次元の六方格子（図 1.2.1 の $\bm{a}_1,\bm{a}_2$ に、垂直な $\bm{a}_3=c\bm{e}_z$ を足したもの）に、$\bm{\tau}_1=\bm{0}$、$\bm{\tau}_2=\frac13\bm{a}_1+\frac13\bm{a}_2+\frac12\bm{a}_3$ の同じ原子2個を置く。球が接して詰まるときは $c/a=\sqrt{8/3}$ で、充填率は fcc と同じ $\frac{\sqrt2\pi}{6}$ になる。

格子は並進の対称性を、基底は単位胞の中身を表す。逆格子と波数の同一視は格子だけで決まるので、ダイヤモンド構造の Si も fcc の Al も、波数を考える領域（第4節の Brillouin 域）は同じ形になる。違いは Fourier 係数 (1.2.7) の基底の因子に現れる。