この章で取り出すモード：横の波数で分けた平面波

光学と量子エレクトロニクス　第6章 §6.1　★★★ 自由な空間では横の波数 $\bm{q}$ ごとの平面波が位相 $\mathrm{e}^{\mathrm{i} k_zz}$ を回すだけで混ざらない。$\lvert \bm{q}\rvert >k$ のモードは伝わらない

第1部では光を光線として扱い、波長 $\lambda\to0$ の極限で結像と収差を調べた。第3章で見たとおり、収差が無い理想のレンズでも点の像は点にならず、波長と開口の大きさで決まる広がりを持つ。光線の理論はこの広がりを扱えない。光線は向きを1つしか持たないが、有限の大きさの開口を通った光は、向きの違う平面波をいくつも重ね合わせたものになるからである。この章では、光線の代わりに平面波を基本の対象にとり、開口を通った光がどう広がるかを調べる。

この章で取り出すモードは、光軸に垂直な面の上の横の波数 $\bm{q}$ で番号を付けた平面波である。物質のモデルは開口（光を通す穴と通さない板）で、光との結合は「開口の面の上で、入射した場に開口の透過の関数を掛ける」ことに尽きる。6.1節で、自由な空間を伝わる間は各モードが位相を回すだけで混ざらないことを示し、横の波数が $k=2\pi/\lambda$ を超えるモードは伝わらずに減衰することを見る。6.2節では、このモードの伝わり方を位置の言葉に戻して Rayleigh–Sommerfeld の積分を作り、円開口の軸上の場を厳密に求めて、Fresnel 近似と Fresnel 数 $N_{\mathrm F}$ を導入する。6.3節と6.4節が「出てくるもの」で、遠方（$N_{\mathrm F}\ll1$）の回折像が開口の透過の関数の Fourier 変換になること、スリットと回折格子の像、円開口の Airy 円盤と回折限界を順に出す。6.5節で置いた近似を札にまとめ、レーザーで髪の毛の太さを測る実験で確かめ方を述べる。6.6節で学部の光学で習う Huygens–Fresnel の原理と Fresnel 帯の形と並べる。

Helmholtz 方程式とスカラーの場

光の電場の1つの成分を、角周波数 $\omega$ の複素振幅 $U(\bm{r})$ で $\operatorname{Re}[U(\bm{r})\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}]$ と書く（この本の流儀）。真空中（空気もほぼ同じ）では波動方程式に $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}$ を入れて

$$(\nabla^2+k^2)U(\bm{r})=0,\qquad k=\frac{\omega}{c}=\frac{2\pi}{\lambda}\tag{6.1}$$

を得る。これを Helmholtz 方程式と呼ぶ。電場は本当はベクトルで、3つの成分は $\nabla\cdot\bm{E}=0$ で結ばれているが、この章では1つの成分だけを独立に扱う（スカラー近似。6.5節）。光の強度は $\lvert U\rvert ^2$ に比例するので、入射光の振幅を $1$ に規格化し、強度を入射光の強度 $I_0$ との比 $I/I_0=\lvert U\rvert ^2$ で書く。

光軸を $z$ にとり、光軸に垂直な面の上の位置を $\bm{x}=(x,y)$ と書く。開口は $z=0$ の面に置き、光は $z<0$ の側から来て、$z>0$ の側で観測する。$z>0$ には光源も物体も無い。

平面波のモードと角スペクトル

$z>0$ で Helmholtz 方程式を満たす最も簡単な解は平面波 $\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\bm{q}\cdot\bm{x}+k_zz)}$ で、式 (6.1) に入れると $\lvert \bm{q}\rvert ^2+k_z^2=k^2$ が要る。$\bm{q}=(q_x,q_y)$ を横の波数と呼ぶ。$\lvert \bm{q}\rvert <k$ なら $k_z=\sqrt{k^2-\lvert \bm{q}\rvert ^2}$ は正の実数で、平面波は光軸と角 $\theta$（$\sin\theta=\lvert \bm{q}\rvert /k$）をなす向きに進む。第3章の光線の運動量 $\bm{p}=n\sin\theta$（の横の成分）と比べると、空気中（$n=1$）では $\bm{q}=k\bm{p}$ で、横の波数は光線の運動量を $1/k$ で割ったものに当たる。光線の理論の $\hbar$ の役を $1/k$ が持つ、という第3章の見立てがここで式になる。

$z=0$ の面の上の場 $U(\bm{x},0)$ を横の位置について Fourier 変換し、

$$\tilde U(\bm{q};0)=\int\mathrm{d}^2x\,U(\bm{x},0)\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\bm{q}\cdot\bm{x}},\qquad U(\bm{x},0)=\int\frac{\mathrm{d}^2q}{(2\pi)^2}\,\tilde U(\bm{q};0)\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\bm{q}\cdot\bm{x}}\tag{6.2}$$

と書く（$2\pi$ は逆変換の側に置く。この本の流儀）。$\tilde U(\bm{q};0)$ を場の角スペクトルと呼ぶ。$z=0$ の場を、横の波数 $\bm{q}$ の平面波のモードに分けたときの各モードの振幅である。$z>0$ では、各モードを $z$ の向きに進む平面波として延ばせば Helmholtz 方程式の解になる。

証明

式 (6.1) を横の位置について Fourier 変換すると、$\nabla^2$ の横の部分が $-\lvert \bm{q}\rvert ^2$ になるので、各 $\bm{q}$ について常微分方程式 $\partial_z^2\tilde U+k_z^2\tilde U=0$ を得る。解は $\mathrm{e}^{+\mathrm{i} k_zz}$ と $\mathrm{e}^{-\mathrm{i} k_zz}$ の重ね合わせである。$\lvert \bm{q}\rvert <k$ では $\mathrm{e}^{-\mathrm{i} k_zz}$ は $-z$ の向きに進む波で、$z>0$ に光源が無いので含めない。$\lvert \bm{q}\rvert >k$ では $\mathrm{e}^{\mathrm{i} k_zz}=\mathrm{e}^{-\kappa z}$（$\kappa=\sqrt{\lvert \bm{q}\rvert ^2-k^2}$）が減衰し、もう一方の $\mathrm{e}^{+\kappa z}$ は発散するので含めない。どちらも $\mathrm{e}^{\mathrm{i} k_zz}$ だけが残り、$z=0$ で $\tilde U(\bm{q};0)$ に合わせれば式 (6.3) になる。

$\lvert \bm{q}\rvert >k$ のモードは $z$ の向きに $1/\kappa$ の長さで減衰する。これをエバネッセント波と呼ぶ。開口の場の中で、波長より細かい構造（$\lvert \bm{q}\rvert >2\pi/\lambda$ の Fourier 成分）を運ぶのはこのモードで、開口から波長の数倍も離れるとほぼ消える。遠くで見る像が波長より細かい構造を持つことができないのは、伝わるモードの横の波数が $\lvert \bm{q}\rvert <k$ に限られることの言い換えであり、6.4節の回折限界はここで既に決まっている。エバネッセント波を開口のすぐ近くで拾って限界を越える方法（近接場）は第8章（第8章）で扱う。

近軸の伝達関数は2次元の自由粒子の伝搬

光軸に近い向きのモードだけを考え、$\lvert \bm{q}\rvert \ll k$ として $k_z$ を展開すると

$$k_z=k-\frac{\lvert \bm{q}\rvert ^2}{2k}+\mathcal{O}(\lvert \bm{q}\rvert ^4/k^3),\qquad \mathrm{e}^{\mathrm{i} k_zz}\approx\mathrm{e}^{\mathrm{i} kz}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\lvert \bm{q}\rvert ^2z/(2k)}\tag{6.4}$$

となる。後ろの因子 $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\lvert \bm{q}\rvert ^2z/(2k)}$ は、質量 $m$ の自由粒子の運動量表示の時間発展 $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\lvert \bm{p}\rvert ^2t/(2m\hbar)}$ で $\bm{p}/\hbar\to\bm{q}$、$t/m\to z/k$ と置いたものと同じ形である。つまり近軸では、光の横の分布は $z$ を時刻とする2次元の自由粒子の波動関数のように広がる。これを方程式の形に書いたものが近軸波動方程式で、第4章（第4章）でガウスビームを出す出発点になる。波動関数の広がりが不確定性関係 $\Delta x\,\Delta p\gtrsim\hbar$ で決まるのと同じく、幅 $a$ の開口を通った光は横の波数に $\Delta q\sim1/a$ の幅を持ち、角度にして $\Delta\theta\sim1/(ka)=\lambda/(2\pi a)$ 程度に広がる。これが回折の広がりの大きさの見積もりである。