この章のまとめ

(1) $g_1=1$, $g_2=1-L/R_2$ なので $0<g_1g_2<1$ は $0<L<R_2=0.5\,\mathrm m$（例題 5.2 と同じ）。$L=0.25\,\mathrm m$ では $g_2=0.5$, $g_1g_2=0.5$ で、図 5.1 の安定な領域の中ほどにある。

(2) 平面鏡の行列は単位行列なので $M_{\mathrm{rt}}=T(L)M_{\mathrm{mirror}}(R_2)T(L)$ で、

$$M_{\mathrm{rt}}=\begin{pmatrix}1&L\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&L\\-4&1-4L\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1-4L&2L-4L^2\\-4&1-4L\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0.25\,\mathrm m\\-4\,\mathrm{m^{-1}}&0\end{pmatrix}$$

（$2/R_2=4\,\mathrm{m^{-1}}$、$L=0.25\,\mathrm m$）。式 (5.4) で $g_1=1$, $g_2=0.5$ とおいても同じ行列になる。$m=0$, $A=D$ なので式 (5.10) から$1/q=\mathrm{i}\sqrt{1-0}/B=\mathrm{i}/(0.25\,\mathrm m)$ で、実部が $0$、つまり平面鏡の上で波面は平らで、そこがビームの腰である。$\lambda/(\pi w_0^2)=1/B$ から $w_0^2=\lambda B/\pi$、$w_0=0.291\,\mathrm{mm}$、Rayleigh 長は $z_{\mathrm R}=\pi w_0^2/\lambda=B=0.25\,\mathrm m=L$ である。凹面鏡は腰から $L=z_{\mathrm R}$ の所にあるので、$w_2=\sqrt2\,w_0=0.412\,\mathrm{mm}$、波面の曲率半径は $R(L)=L+z_{\mathrm R}^2/L=0.5\,\mathrm m$ で、凹面鏡の曲率半径 $R_2$ に一致する。この共振器は、例題 5.3 の長さ $0.5\,\mathrm m$ の共焦点の共振器を、中央の腰の面で半分に切って平面鏡を置いたものと同じビームを持つ。

(3) 腰から凹面鏡までの Gouy 位相は $\psi_{\mathrm G}(L)=\arctan(L/z_{\mathrm R})=\pi/4$ で、腰が平面鏡の上にあるので片道の Gouy 位相は $\Delta\psi_{\mathrm G}=\pi/4$。式 (5.15) の $\arccos\sqrt{g_1g_2}=\arccos(1/\sqrt2)=\pi/4$ と一致し、周回の角は $\theta=\pi/2$ である（周回行列の $m=0=\cos\theta$ とも合う）。$\nu_{\mathrm{FSR}}=c/(2L)=599.6\,\mathrm{MHz}$、横モードの間隔は $\nu_{\mathrm{FSR}}\theta/(2\pi)=\nu_{\mathrm{FSR}}/4=149.9\,\mathrm{MHz}$。$\theta/2\pi=1/4$ なので、$m+l=4$ の横モードが次の縦モードの基本モードに重なる（光線は4周で元に戻り、$M_{\mathrm{rt}}^4=I$）。

(4) $\eta_{\mathrm{rt}}=1-0.98\times0.999=0.02098$。$r_{12}=\sqrt{0.98\times0.999}=0.98945$ で、式 (5.18) の厳密な式から $\mathcal F=296.3$（近似 $2\pi/\eta_{\mathrm{rt}}=299.5$）。線幅は $\Delta\nu_{1/2}=\nu_{\mathrm{FSR}}/\mathcal F=2.02\,\mathrm{MHz}$。寿命は $\tau_{\mathrm c}=2L/\bigl(c[-\ln(0.97902)]\bigr)=78.7\,\mathrm{ns}$ で、$1/(2\pi\tau_{\mathrm c})=2.02\,\mathrm{MHz}$ と一致する。$Q=\nu/\Delta\nu_{1/2}=2.818\times10^{14}/2.02\times10^6=1.39\times10^8$。損失のほとんどは出力鏡の透過 $0.02$ で、凹面鏡の $0.001$ は5パーセントにすぎない。

(5) 出力鏡を抜ける光は、中を回る光の $\mathcal T_1=0.02$ なので、出力鏡に当たる片道のパワーは $P_{\mathrm c}=1\,\mathrm{mW}/0.02=50\,\mathrm{mW}$。凹面鏡でほとんど全部反射するので、行きと帰りの両方の向きに約 $50\,\mathrm{mW}$ ずつ流れていて、長さ $L$ の中のエネルギーは$U=2P_{\mathrm c}L/c=8.34\times10^{-11}\,\mathrm J$ である。光子1個のエネルギーは $h\nu=1.867\times10^{-19}\,\mathrm J$ なので、光子の数は $U/(h\nu)=4.47\times10^8$ である。確かめとして、エネルギーが失われる速さ $U/\tau_{\mathrm c}=1.060\,\mathrm{mW}$ は、出力鏡から出る $1\,\mathrm{mW}$ と凹面鏡から漏れる $P_{\mathrm c}\times0.001=0.050\,\mathrm{mW}$ の和 $1.05\,\mathrm{mW}$ に、$-\ln(1-\eta_{\mathrm{rt}})$ と $\eta_{\mathrm{rt}}$ の違い（1パーセント）の範囲で一致する。$300\,\mathrm K$ では $h\nu/( k_{\mathrm B} T)=45.1$ で、熱の光子数は $\bar n_{\mathrm{ph}}=1/(\mathrm{e}^{45.1}-1)=2.7\times10^{-20}$（第1章の式）しかない。中にいる $4.5\times10^8$ 個の光子はほぼすべて入射したレーザー光の光子で、このモードの光は室温でも熱の光子に乱されない。