出てくるもの（2）：縦モードと共鳴周波数

光学と量子エレクトロニクス　第5章 §5.4　★★★ 1周の Gouy 位相は光線の周回の角 $\theta$ そのもので、共鳴周波数は $\nu=\nu_{\mathrm{FSR}}[\ell+(m+l+1)\theta/2\pi]$ に並ぶ

周回の位相と共鳴の条件

鏡を完全な反射とし、Hermite–Gauss のモード $u_{ml}$ を基準の面から1周させる。式 (5.9) で $q$ は自分に戻り、前の因子は命題 5.4 から$(A+B/q)^{-1}=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}$ で、高次のモードではその $(m+l+1)$ 乗になる。速い位相 $\mathrm{e}^{\mathrm{i} k\cdot2L}$ と合わせて、定義 5.1 の因子は

$$\gamma_{ml}=\exp\bigl[\mathrm{i}\,2kL-\mathrm{i}(m+l+1)\theta\bigr]\tag{5.13}$$

である。周回の角 $\theta$ は2つの役を持つ。光線の言葉では1周あたりに位相空間の楕円を回る角で、波の言葉では1周で積もる Gouy 位相である。Gouy 位相が光線の回転と同じ数になるのは、近軸の波動方程式が2次元の Schrödinger 方程式と同じ形（第4章）で、ガウスビームが調和振動子の固有状態に当たるからである。量子力学で、角振動数 $\omega$ の調和振動子の時間発展は相空間の点を角 $\omega t$ だけ回し、$n$ 番目の固有状態に位相 $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}(n+1/2)\omega t}$ をかける。共振器では、周回行列が相空間の回転で、2次元の $(m+\tfrac12)+(l+\tfrac12)=m+l+1$ が位相の倍数になる。

$\gamma_{ml}=1$ が共鳴の条件で、$k=2\pi\nu/c$ を使うと、縦モードの番号 $\ell$（正の整数）について

$$\nu_{\ell ml}=\nu_{\mathrm{FSR}}\Bigl[\ell+(m+l+1)\frac{\theta}{2\pi}\Bigr],\qquad \nu_{\mathrm{FSR}}=\frac{c}{2L}\tag{5.14}$$

を得る。$\nu_{\mathrm{FSR}}$ は自由スペクトル領域（free spectral range, FSR）と呼び、光が1往復する時間 $t_{\mathrm{rt}}=2L/c$ の逆数で、第1章（第1章）で $\Delta\nu=c/(2L)$ と書いた縦モードの間隔と同じものである。縦モードの番号 $\ell$ は鏡の間の定在波の腹の数に当たり、可視光で $L=10\,\mathrm{cm}$ なら $\ell\approx4\times10^5$ と大きい。横モードの番号を1つ上げると周波数は $\nu_{\mathrm{FSR}}\,\theta/(2\pi)$ だけずれる。これを横モードの間隔と呼ぶ。

2枚の鏡の共振器では、腰を $z=0$ とする座標で鏡1が $z=-z_1$、鏡2が $z=z_2=L-z_1$ にあり（$z_1$ は式 (5.12)）、鏡1から鏡2までの片道で積もる Gouy 位相$\Delta\psi_{\mathrm G}=\psi_{\mathrm G}(z_2)-\psi_{\mathrm G}(-z_1)=\arctan(z_2/z_{\mathrm R})+\arctan(z_1/z_{\mathrm R})$ が周回の角の半分になり、

$$\frac{\theta}{2}=\Delta\psi_{\mathrm G}=\arccos\bigl(\pm\sqrt{g_1g_2}\bigr)\qquad(g_1,g_2>0\ \text{で}\ +,\ g_1,g_2<0\ \text{で}\ -)\tag{5.15}$$

となる。$\cos\theta=2\cos^2(\theta/2)-1=2g_1g_2-1$ が系 5.3 の式と同じであることから確かめることができる。

横モードの縮退と、光線が戻る配置

式 (5.14) で、$\theta/2\pi$ が既約分数 $K/N$ になる配置では、横モードの番号を $N$ だけ上げたモードの周波数が、縦モードの番号を $K$ だけ上げた基本モードの周波数に重なる。これは光線が $N$ 周で元に戻る（$M_{\mathrm{rt}}^N=I$）配置と同じ条件で、例題 5.2 の $\theta=2\pi/3$ の共振器では、$m+l=3$ の横モードが次の縦モードの基本モードに重なる。光線が戻る周期と、横モードの周波数が縦モードに重なる周期が同じなのは、どちらも周回の角という1つの数から決まるからである。

共焦点の配置（$g_1=g_2=0$, $\theta=\pi$）では横モードの間隔が $\nu_{\mathrm{FSR}}/2$ になり、$m+l$ が偶数のモードは基本モードの縦モードに、奇数のモードはその中点に重なる。どの横モードを励起しても共鳴は間隔 $c/(4L)$ の櫛の上にしか現れないので、入射ビームの形を共振器のモードに精密に合わせなくても、透過のスペクトルが入射光の周波数だけを映す。この性質を使った装置が、レーザーの縦モードを見るための走査型の共焦点 Fabry–Perot 干渉計である（干渉計としての扱いは 第9章）。平面鏡2枚（$\theta=0$）では横モードがすべて縮退するが、5.2節で見たとおり光線を閉じ込める力が無い。

第1章の見方に戻ると、$(\ell,m,l)$ と偏光の向きの組の1つ1つが共振器の1つのモードで、それぞれが角周波数 $2\pi\nu_{\ell ml}$ の1つの調和振動子である。レーザーの媒質を入れたとき、どのモードで発振するかは、媒質の利得の幅の中にいくつのモードの周波数が入るかで決まる（第22章）。多くの縦モードの位相をそろえるとパルス列になり、櫛の歯のように等間隔に並んだ周波数 $\ell\,\nu_{\mathrm{FSR}}$ が光周波数コムの物差しになる（第23章）。