取り出すモードと物質のモデル：位相のそろった縦モードの櫛

光学と量子エレクトロニクス　第23章 §23.1　★★★ $N$ 本の等間隔のモードの位相がそろうと、強度は Dirichlet 核 $\sin^2(N\omega_{\mathrm{rep}}t/2)/\sin^2(\omega_{\mathrm{rep}}t/2)$ のパルス列になる。平均の強度は位相によらず、ピークだけが $N$ 倍に集まる

第5章（第5章）で、長さ $L$ の共振器の縦モードが自由スペクトル領域 $\nu_{\mathrm{FSR}}=c/(2L)$ の等間隔で並ぶことを示した。第22章（第22章）では、利得の帯域が縦モードの間隔より広いレーザーが多くの縦モードで同時に発振することを扱った。そのとき各モードの位相はばらばらで、出力の強度は平均の値のまわりで不規則に揺らぐだけである。この章では、同じ縦モードの位相をそろえると何が起こるかを考える。

この章で取り出すモードは、共振器の $N$ 本の縦モードである。物質のモデルは、第19章から第21章の2準位（4準位）の利得媒質を、幅の広い均一な利得の線 $g(\omega)$ にまとめたものと、モードどうしを結合させる素子（変調器か、強度によって損失が変わる可飽和吸収体・Kerr 媒質）である。結合は、縦モードの間隔と同じ周波数で場の振幅を時間的に変えることで、モード $\ell$ の側帯がとなりのモード $\ell\pm1$ に重なり、その位相を引き込む。23.1節で $N$ 本のモードの和を書き、位相がそろうと Dirichlet 核の形のパルス列になることを示す。23.2節で道具として Fourier 変換の不確定性関係と時間帯域幅積を用意し、群速度分散によるチャープを扱う。23.3節では変調器による能動モード同期を1周ごとの主方程式で書き、定常なパルスが調和振動子の基底状態と同じ Gauss 型になることを示す。23.4節では受動モード同期を扱い、負の分散と自己位相変調がつり合うソリトンのパルスを出す。23.5節では、パルス列のスペクトルが $\nu_n=n\nu_{\mathrm{rep}}+\nu_{\mathrm{ceo}}$ の櫛になることを示し、f–2f 法で $\nu_{\mathrm{ceo}}$ を測って光の周波数を数える手順を述べる。23.6節で置いた近似と測る量を述べ、学部の授業でのモード同期の式と並べる。

この章では時間の因子を記法の正本どおり $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}$ にとり、電場は $E(t)=\operatorname{Re}[\mathcal E(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega_{\mathrm c}t}]$ と包絡線 $\mathcal E(t)$ と搬送波の角周波数 $\omega_{\mathrm c}$ で書く。この章には温度が出てこないので、時間の長さに $T$ を使う。

$N$ 本の縦モードの和

共振器の出口の鏡の位置で、縦モード $\ell$ の場を角周波数 $\omega_\ell$、複素振幅 $A_\ell\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi_\ell}$（$A_\ell\ge0$）で書く。発振している $N$ 本のモードの角周波数が

$$\omega_\ell=\omega_{\mathrm c}+\ell\,\omega_{\mathrm{rep}},\qquad \omega_{\mathrm{rep}}=2\pi\nu_{\mathrm{rep}},\qquad \ell=0,1,\dots,N-1\tag{23.1}$$

のように等間隔に並ぶとする。空の共振器では $\nu_{\mathrm{rep}}=\nu_{\mathrm{FSR}}=c/(2L)$ で、媒質があるときの $\nu_{\mathrm{rep}}$ の決まり方は 23.2節で述べる。電場は $E(t)=\operatorname{Re}[\sum_\ell A_\ell\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi_\ell}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega_\ell t}]$ で、包絡線は

$$\mathcal E(t)=\sum_{\ell=0}^{N-1}A_\ell\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi_\ell}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\ell\omega_{\mathrm{rep}}t}\tag{23.2}$$

になる。$\mathcal E(t)$ は $t_{\mathrm{rt}}=1/\nu_{\mathrm{rep}}$ を周期とする周期関数である。$t_{\mathrm{rt}}$ は光が共振器を1周する時間で、第5章の $t_{\mathrm{rt}}=2L/c$ と同じものである。強度は $\lvert \mathcal E(t)\rvert ^2$ に比例するので、以下では $\lvert \mathcal E\rvert ^2$ を強度と呼ぶ（$\tfrac12nc\varepsilon_0$ の因子は省く）。

強度を1周期にわたって平均すると、異なる $\ell$ の積は $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}(\ell-\ell')\omega_{\mathrm{rep}}t}$ の因子を持つので平均が $0$ になり、

$$\frac{1}{t_{\mathrm{rt}}}\int_0^{t_{\mathrm{rt}}}\lvert \mathcal E(t)\rvert ^2\,\mathrm{d} t=\sum_{\ell=0}^{N-1}A_\ell^2\tag{23.3}$$

が残る。これは Fourier 級数の Parseval の等式で、平均の強度は位相 $\phi_\ell$ によらない。位相を変えると、1周期の中でのエネルギーの配られ方だけが変わる。

位相がそろうと Dirichlet 核になる

振幅がそろっていて（$A_\ell=A$）、位相もそろっている（$\phi_\ell=0$）とする。式 (23.2) は等比級数で、

$$\mathcal E(t)=A\sum_{\ell=0}^{N-1}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\ell\omega_{\mathrm{rep}}t}=A\,\frac{1-\mathrm{e}^{-\mathrm{i} N\omega_{\mathrm{rep}}t}}{1-\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega_{\mathrm{rep}}t}} =A\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}(N-1)\omega_{\mathrm{rep}}t/2}\,\frac{\sin(N\omega_{\mathrm{rep}}t/2)}{\sin(\omega_{\mathrm{rep}}t/2)}$$

となる。強度は

$$\lvert \mathcal E(t)\rvert ^2=A^2\,\frac{\sin^2(N\omega_{\mathrm{rep}}t/2)}{\sin^2(\omega_{\mathrm{rep}}t/2)}\tag{23.4}$$

で、この関数を Dirichlet 核（の2乗）と呼ぶ。性質を順に読む。

$t=kt_{\mathrm{rt}}$（$k$ は整数）では分母と分子がともに $0$ になり、極限は $N^2A^2$ である。すべてのモードがこの時刻に同じ位相で重なり、振幅が $N$ 倍、強度が $N^2$ 倍になる。最初の零点は $N\omega_{\mathrm{rep}}t/2=\pi$、すなわち $t=t_{\mathrm{rt}}/N$ にある。ピークの近くでは $\sin(\omega_{\mathrm{rep}}t/2)\approx\omega_{\mathrm{rep}}t/2$ と置けて、強度は $N^2A^2\,\mathrm{sinc}^2(N\omega_{\mathrm{rep}}t/2)$ になる（$\mathrm{sinc}\,u=\sin u/u$）。$\mathrm{sinc}^2u=1/2$ の解 $u=1.392$ から、強度の半値全幅は

$$\tau_{\mathrm p}=\frac{2\times1.392}{\pi}\,\frac{t_{\mathrm{rt}}}{N}=0.886\,\frac{t_{\mathrm{rt}}}{N}=\frac{0.886}{N\nu_{\mathrm{rep}}}\tag{23.5}$$

である。$N\nu_{\mathrm{rep}}$ は発振しているスペクトルの全幅なので、パルスの幅はスペクトルの幅の逆数で決まる。平均の強度は式 (23.3) から $NA^2$ で、ピークと平均の比は $N$ になる。1周期の中で、エネルギーが幅 $t_{\mathrm{rt}}/N$ ほどの時間に集まったことになる。

位相がそろうことの意味を正確に言うと、$\phi_\ell$ が $\ell$ の1次式 $\phi_\ell=\phi_0+\ell\omega_{\mathrm{rep}}t_0$ であればよい。そのとき式 (23.2) は $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi_0}\mathcal E(t-t_0)$ になり、パルスの時刻が $t_0$ だけずれるだけである。$\phi_\ell$ に $\ell$ の2次の項があると、周波数によって到着の時刻が違い、パルスはチャープして広がる（23.2節）。

位相がばらばらのとき

位相 $\phi_\ell$ が互いに無関係な乱数であると、式 (23.2) の $N$ 個の項は時刻ごとに違う向きの複素数の和になる。強度の平均は式 (23.3) の $NA^2$ のままだが、どの時刻にも項が同じ向きにそろうことはなく、強度は平均の数倍の山と谷を不規則にくり返す（図 23.1）。自由に発振している多モードのレーザーの出力がこれに当たる。各モードの位相は自然放出の雑音で独立にゆっくり変わるので（第22章の Schawlow–Townes の線幅）、山と谷の並びも時間とともに変わる。

位相をそろえる結合

位相をそろえるには、モードどうしを結合させる仕組みが要る。共振器の中に置いた変調器が、場の振幅に周期 $t_{\mathrm{rt}}$ の変調 $1-M(1-\cos\omega_{\mathrm{rep}}t)$ をかけるとする。モード $\ell$ の場 $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega_\ell t}$ に $\cos\omega_{\mathrm{rep}}t=\tfrac12(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega_{\mathrm{rep}}t}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega_{\mathrm{rep}}t})$ をかけると、角周波数 $\omega_\ell\pm\omega_{\mathrm{rep}}=\omega_{\ell\pm1}$ の側帯ができる。側帯はとなりのモードの周波数に重なり、そのモードを決まった位相で駆動する。これが1周ごとにくり返されると、モード $\ell$ と $\ell\pm1$ の位相差が変調の位相で決まる値に引き込まれる。変調器の代わりに、強い光ほど損失の小さい素子（可飽和吸収体）を置いても、強度の山だけが損失を受けにくいので、山を作る位相の配置が残る。前者を能動モード同期、後者を受動モード同期と呼ぶ（23.3節・23.4節）。変調器によるモード同期は、He–Ne レーザーの共振器の中で損失を音響光学的に変調して最初に観測された（Hargrove, Fork, Pollack (1964), Appl. Phys. Lett. 5, 4）。